Endecágono: propiedades, cómo hacerlo, ejemplos
¿Qué es un endecágono?
El endecágono, también llamado undecágono, es una figura geométrica plana cerrada con 11 lados que pertenece a la familia de los polígonos.
A estos se los nombra de acuerdo a la cantidad de lados que tienen y en el caso del endecágono, su nombre deriva de las palabras griegas “hendeka” y “gona”: once y vértice, respectivamente, acorde con el hecho de que el endecágono tiene 11 vértices o puntas.
Los polígonos regulares comparten una serie de características distintivas, en particular el endecágono regular, aquel cuyos lados tienen todos igual medida. En la figura 1 se muestra un endecágono regular y sus propiedades más significativas:
- Lados, un total de 11.
- Vértices, también son 11 los puntos que unen dos lados consecutivos (en la figura anterior son los puntos azules y en la figura 3 también se nombran con letras mayúsculas).
- Centro, punto equidistante tanto de los vértices como de los lados.
- Diagonales, líneas que unen un vértice con otro vértice no consecutivo, en total de 44.
- Ángulos internos, los que se forman entre dos lados adyacentes por el lado interno del endecágono. Si el endecágono es regular, todos los ángulos internos miden 147 3/11 º.
- Ángulos externos, se forman entre un lado y la prolongación de uno de los lados consecutivos.
- Radio, distancia del centro a un vértice.
- Ángulo central, que en el caso del endecágono regular mide 32 8/11 º, cuyos lados son dos segmentos adyacentes y el vértice del ángulo coincide con el centro.
- Apotema, segmento perpendicular que une el centro de un lado con el centro de la figura.
¿Cómo hacer un endecágono regular?
Para dibujar un endecágono regular, cuyos lados miden lo mismo, se necesita de regla y compás. Una manera de realizar el trazado es siguiendo estos pasos:
1.- Dibujar una circunferencia y dos diámetros de ella, uno vertical y otro horizontal. Los puntos de la circunferencia que determinan dichos diámetros se nombran A y B (diámetro horizontal) y C y D (diámetro vertical).
2.- Abrir el compás con la medida del radio de la circunferencia, apoyar la punta en el punto D del diámetro CD y trazar un primer arco que intersecta a la circunferencia en el punto E.
3.- Con esta misma medida apoyar la punta del compás en el punto A y trazar un segundo arco que intersecta a la circunferencia en el punto F y a la vez pasa por el centro de la misma.
4.- Abrir el compás con la punta apoyada en E y hasta el punto F, trazando un tercer arco que corte el diámetro vertical en el punto G.
5.- Ahora, aperturar el compás entre los puntos F y G. Esta será la medida del lado del endecágono. Se apoya la punta del compás en F y se traza un cuarto arco que corte a la circunferencia en el punto H, el lado FH pertenece ya al endecágono y se dibuja uniendo los puntos con ayuda de la regla.
6.- La punta del compás se apoya sucesivamente en el punto H y se van trazando arcos cuidadosamente, uniendo los puntos así determinados mediante segmentos, hasta completar los once lados del polígono.
Ejemplos de endecágonos
Hay varias clases de endecágonos, según la medida de sus lados y la de sus ángulos internos, a continuación algunos ejemplos:
Endecágonos regulares e irregulares
–Regular, si todos los lados y los ángulos internos miden igual.
–Irregular, cuando sus lados tienen diferente medida.
En la figura siguiente se muestra un endecágono regular en el contorno interno de un dólar estadounidense con la figura de Susan B. Anthony (1820-1906), una activista de los derechos de las mujeres nacida en Massachusetts, Estados Unidos. El endecágono también se ha usado como parte del diseño de otras monedas por todo el mundo.
Endecágonos convexos y cóncavos
Los endecágonos difieren según sus ángulos internos, por ejemplo pueden ser:
–Convexos, si los ángulos internos son menores de 180º.
–Cóncavos, cuando hay ángulos internos mayores a 180º.
El endecágono que decora el dólar Susan B. Anthony es convexo, ya que la medida de cualquiera de sus ángulos internos es menor a 180º. Su valor se calcula a través de una fórmula que depende del número de lados de la figura (ver el siguiente apartado).
Fórmulas para el endecágono
Fórmula para los ángulos internos
Para determinar la medida I en grados, de los ángulos internos de cualquier polígono regular de n lados, se emplea la siguiente fórmula:
La suma S de los ángulos internos de un polígono regular se encuentra mediante esta fórmula, válida para n entero y mayor que 2:
S = (n−2) x 180º
Sustituyendo n=11 resulta:
S = (11 – 2) x 180º = 1620º
Ángulos externos
Para saber la medida de los ángulos internos se aplica que la suma de un ángulo interno y uno externo es igual a 180º:
180 º – 147 3/11º = 32 8/11º.
Perímetro
El perímetro es la suma de los lados del endecágono, ya sea regular o no. En el caso del endecágono regular, si ℓ es la longitud de uno de los lados, el perímetro se halla multiplicando por n, la cantidad de lados.
Por lo tanto el perímetro P del endecágono regular es:
P = 11 ℓ
Área
Conociendo el lado, el área se puede calcular con la fórmula:
A = 9.3656∙ℓ2
Otra manera de hallar el área, siempre que el endecágono sea regular, consiste en dividirlo en triángulos de base igual al lado ℓ y altura igual a la longitud de la apotema LA.
El área de cada triángulo se calcula mediante:
Área = base x altura /2
Que en función de la apotema también se escribe como:
Área = ℓ. LA /2
Y el área total del endecágono se encuentra multiplicando el área del triángulo por 11:
A = 11ℓ. LA /2
En términos del perímetro, el área del endecágono regular es:
A = P. LA /2
Diagonales
El número de diagonales se calcula haciendo n = 11 en la siguiente fórmula:
Ejercicio resuelto
Calcular perímetro y área de un endecágono regular de 20 cm de lado.
Solución
El perímetro es:
P = 11 ℓ =11×20 cm = 220 cm.
Y su área es:
A = 9.3656∙ℓ2=9.3656×(20 cm)2=3746.2 cm2
Referencias
- Alexander, D. 2013. Geometría. 5ta. Edición. Cengage Learning.
- Profesor de dibujo. Endecágono inscrito en una circunferencia (polígono de 11 lados). Recuperado de: youtube.com.
- Problemas y ecuaciones. Calculadora del área y perímetro del endecágono regular. Recuperado de: problemasyecuaciones.com.
- Sangaku Maths. Elementos de un polígono y su clasificación. Recuperado de: sangakoo.com.
- Solucionador automático de problemas de geometría. El endecágono. Recuperado de: scuolaelettrica.it.
- Wolfram MathWorld. Hendecagon. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.