Evaluación de funciones: qué es, cociente diferencial, ejemplos, ejercicios

¿Qué es la evaluación de funciones?

La evaluación de funciones consiste en determinar la imagen de un determinado valor del dominio. En otras palabras, para un valor dado del conjunto de partida, hay que encontrar su correspondiente en el conjunto de llegada.

Una función se puede representar de varias maneras. Si, por ejemplo, se dispone del diagrama de Venn de la misma, la evaluación es muy sencilla, basta con seleccionar el elemento del conjunto de partida o dominio, y ver el elemento que le corresponde en el conjunto de llegada.

En el diagrama de la función “… es capital de…”, representado arriba, al evaluar dicha función en el elemento “Canadá”, resulta el elemento “Ottawa”, en caso de hacerlo con “México”, resulta “Ciudad de México” y así sucesivamente.

Si la función está dada en forma de pares ordenados, la evaluación también es sencilla: el segundo miembro del par ordenado es la imagen del primer miembro. Por ejemplo, con la función f(x) descrita por:

f (x) = {(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8); (5,10); (6,12)}

Al evaluar la función para el valor 3, el resultado es 6; al evaluar para 5, resulta 10 y así sucesivamente.

Igualmente, se puede evaluar una función cuando se dispone de la gráfica, siempre que el valor que se quiere evaluar aparezca en ella.

Por ejemplo, para evaluar la función mostrada arriba, en x = 2, lo primero es ubicar en la gráfica a x = 2 (flecha amarilla).

Seguidamente, hay que desplazarse siguiendo la flecha vertical azul, hasta tocar la curva (punto verde). Seguir la flecha azul nuevamente, que indica el valor correspondiente en el eje vertical, por lo tanto, al evaluar la función en x = 2, se obtiene y = −6.

Evaluar una función dada en notación matemática

En la parte inferior de la gráfica de arriba, aparece la función graficada, pero dada en notación matemática, es decir, a través de una fórmula:

f (x) = x² – 3x – 4

Cuando se desea evaluar la función en un valor cualquiera x = a, hay que hallar f(a), que se lee simplemente “f de a”.

Para encontrar el resultado, se sustituye x = a en la fórmula de la función, y se llevan a cabo las operaciones y cálculos solicitados allí.

Supóngase que se desea evaluar la función del ejemplo en x = −1. Esto quiere decir que se debe hallar f (−1).

El primer paso es sustituir x = -1 en la función:

f (−1) = (−1)² – 3∙(−1) – 4

Y seguidamente, efectuar las operaciones indicadas, que en este ejemplo son:

• Hallar el cuadrado de −1: (−1)² = 1
• Restar el valor anterior del producto 3∙(−1): 3∙(−1) = −3
• Del resultado anterior, restar 4

f (−1) = (−1)² – 3∙(−1) – 4 = 1 + 3 − 4 = 0

El lector puede corroborar este resultado, a partir de la gráfica de la función.

El procedimiento descrito se puede utilizar para evaluar la función en cualquier otro valor de su dominio. Por ejemplo, se puede encontrar f (-2), f (100) o incluso f (h), donde h es un valor variable arbitrario, que pertenece al dominio de la función.

Evaluar una función en un valor x = h 

Supóngase que se quiere evaluar la función en algún valor x = h arbitrario, una operación frecuente en cálculo matemático.

En este caso, se sustituye x por h, del mismo modo que se hace cuando x toma un valor numérico cualquiera, y el resultado se simplifica todo lo posible.

Cuando ya no se pueda simplificar más, se deja indicada la operación resultante.

Ejemplo

Se desea evaluar la función f(x) = x² – 3x – 4 en x = h+1. El planteamiento necesario es el siguiente:

f(h+1) = (h+1)² – 3∙(h+1) – 4

A la derecha de la igualdad, el primer término es un producto notable:

(h+1)² = h² +2h + 1

El siguiente término se resuelve mediante la propiedad distributiva:

3∙(h+1) = 3h + 3

Al sustituir todo lo anterior, se tiene:

f(h+1) = (h+1)² – 3∙(h+1) – 4 = h² +2h + 1 – (3h + 3) – 4

Los términos semejantes se reducen, mediante suma algebraica:

f(h+1) = h² + 2h + 1 – 3h – 3 – 4 = h² – h – 6

El cociente diferencial

El cociente diferencial o cociente de diferencias D de una función f(x) se define como:

Con la condición h ≠ 0, la cual es necesaria, ya que la división por 0 no está definida.

Este cociente se interpreta geométricamente como la pendiente de una recta secante a la curva, es decir, una recta que pasa por dos puntos de ella. Las coordenadas de dichos puntos son: [x, f(x)] y [x+h; f(x+h)], como se ve en la siguiente figura:

Por eso este cociente aparece en el cálculo de la derivada de una función, ya que haciendo que “h” se acerque al valor 0, la recta secante tiende a convertirse en una recta tangente en el punto (x, y), porque los puntos de intersección de la figura están tan cercanos que tienden a un mismo punto.

Así, la recta se convierte en tangente (intercepta a la curva en un solo punto).

Esta es justamente la definición de derivada de una función: la pendiente de la recta tangente a la curva en punto de coordenadas (x, f(x)).

Como se puede ver, el cociente diferencial requiere evaluar la función en (x + h) y en x. Los siguientes ejemplos ilustran como hacerlo.

Ejemplo 1

Se quiere hallar el cociente diferencial de la función f(x) = 2x – 3. El primer paso es plantear la evaluación de la función para x = x + h, así:

f (x+h ) = 2∙(x+h) – 3 = 2x + 2h – 3

Seguidamente, el resultado se sustituye en la definición de D, dada con anterioridad:

Con h ≠ 0.

El numerador se simplifica en lo posible, reduciendo términos semejantes:

Finalmente, se simplifican los factores comunes en numerador y denominador:

D = 2

Ejemplo 2

Encontrar el cociente diferencial de la función f (x) = x² – 3x – 4.

Se procede como en el ejemplo anterior, encontrando primero f(x+h), sustituyendo el resultado en D y simplificando al máximo:

f (x+h) = (x+h)² – 3(x+h) – 4 = x² + 2hx + h² – 3x – 3h – 4

= 2x+h–3

Por lo tanto:

D = 2x+h–3

Donde h ≠ 0.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Evaluar la función f(x) = 2x² – 4x + 1 cuando:

a) x = –1
b) x = 0
c) x = 2

Solución a

f(–1) = 2(–1)² – 4(–1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7

Solución b

f(0) = 2(0)² – 4(0) + 1 = 0 – 0 + 1 = 1

Solución c

f(2) = 2∙2² – 4∙2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

Ejercicio 2

Un equipo de conservacionistas determinó que la función w(t) = 0.lt² + 1.8t sirve para modelar la cantidad de desperdicios “w”, en kilogramos, que se arrojan a un determinado río, en un tiempo “t”, dado en días.

Calcular la cantidad de desperdicios echados al río al cabo de:

a) 3 días
b) 1 semana
c) 1 mes

Solución a

Se evalúa la función w(t) en t = 3 días:

w(3) = 0.1×3² +1.8×3 = 0.9 + 5.4 = 6.3 kilogramos

Solución b

Antes de evaluar, hay que pasar 1 semana a días:

1 semana = 7 días

w(7) = 0.1×7² +1.8×7 = 4.9 + 12.6 = 17.5 kilogramos

Solución c

Nuevamente, es preciso transformar los meses a días:

1 mes = 30 días

w(30) = 0.1×30² +1.8×30 = 90 + 54 = 144 kilogramos

Referencias

1. Larson, R. 2012. Precálculo. 8va. Edición. Cengage Learning.
2. Monterey Institute. Evaluando funciones. Recuperado de: montereyinstitute.org.
3. Stewart, J. 2007. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
4. Sullivan, M. 1997. Precálculo. 4ta. Edición. Pearson Educación.
5. Zill, D. 2008. Precálculo con avances de Cálculo. 4ta. Edición. McGraw Hill.