Distribución binomial: concepto, ecuación, características, ejemplos
La distribución binomial es una distribución de probabilidades mediante la cual se calcula la probabilidad de ocurrencia de eventos, siempre que se presenten bajo dos modalidades: éxito o fracaso.
Estas denominaciones (éxito o fracaso) son completamente arbitrarias, ya que no necesariamente significan cosas buenas o malas. Durante este artículo indicaremos la forma matemática de la distribución binomial y luego se explicará con detalle el significado de cada término.
Índice del artículo
La ecuación es la siguiente:
Con x = 0, 1, 2, 3….n, donde:
– P(x) es la probabilidad de tener exactamente x éxitos entre n intentos o ensayos.
– x es la variable que describe al fenómeno de interés, correspondiente al número de éxitos.
– n el número de intentos
– p es la probabilidad de éxito en 1 intento
– q es la probabilidad de falla en 1 intento, por lo tanto q = 1 – p
El símbolo de admiración “!” se utiliza para la notación factorial, de modo que:
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Y así sucesivamente.
La distribución binomial es muy apropiada para describir situaciones en las que un evento se produce o no se produce. Si se produce es un éxito y si no, entonces es un fracaso. Además la probabilidad de éxito debe mantenerse siempre constante.
Hay fenómenos que se ajustan a estas condiciones, por ejemplo el lanzamiento de una moneda. En este caso, podemos decir que el “éxito” es obtener una cara. La probabilidad es ½ y no cambia, sin importar cuantas veces se lance la moneda.
El lanzamiento de un dado honesto es otro buen ejemplo, así como categorizar en piezas buenas y piezas defectuosas una determinada producción y obtener un rojo en vez de un negro al girar una ruleta.
Podemos resumir las características de la distribución binomial de la siguiente manera:
– Cualquier evento u observación, se extrae de una población infinita sin reemplazo o de una población finita con reemplazo.
– Se consideran solamente dos opciones, mutuamente excluyentes: éxito o fracaso, como se explicó al comienzo.
– La probabilidad de éxito debe ser constante en cualquier observación que se haga.
– El resultado de cualquier evento es independiente de cualquier otro evento.
– La media de la distribución binomial es n.p
– La desviación estándar es:
Tomemos un evento sencillo, que puede ser obtener 2 caras 5 al lanzar un dado honesto 3 veces. ¿Qué probabilidades hay de que en 3 lanzamientos se obtengan 2 caras de 5?
Hay varias formas de lograrlo, por ejemplo que:
– Los dos primeros lanzamientos sean 5 y el último no.
– El primero y el último sean 5 pero no el del medio.
– Los dos últimos lanzamientos resulten 5 y el primero no.
Tomemos como ejemplo la primera secuencia descrita y calculemos su probabilidad de ocurrencia. La probabilidad de obtener una cara 5 en el primer lanzamiento es 1/6, y también en el segundo, pues son eventos independientes.
La probabilidad de obtener otra cara distinta de 5 en el último lanzamiento es 1 – 1/6 = 5/6. Por lo tanto la probabilidad de que salga esta secuencia, es el producto de las probabilidades:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5 / 216 = 0.023
¿Qué hay de las otras dos secuencias? Tienen idéntica probabilidad: 0.023.
Y como tenemos un total de 3 secuencias exitosas, la probabilidad total será:
P (2 caras 5 en 3 lanzamientos) = Número de secuencias posibles x probabilidad de una secuencia particular = 3 x 0.023 = 0.069.
Ahora probemos con la binomial, en la cual se hace:
x = 2 (obtener 2 caras de 5 en 3 lanzamientos es el éxito)
n= 3
p = 1/6
q = 5/6
Hay varias formas de resolver los ejercicios de la distribución binomial. Como hemos visto, los más simples pueden resolverse contando cuántas sucesiones exitosas existen y luego multiplicando por las respectivas probabilidades.
Sin embargo, cuando hay muchas opciones, los números se vuelven más grandes y es preferible utilizar la fórmula.
Y si los números son aún mayores, hay tablas de la distribución binomial. No obstante, en la actualidad han quedado obsoletas a favor de las muchas clases de calculadoras que facilitan el cálculo.
Una pareja tiene hijos con una probabilidad de 0,25 de tener sangre del tipo O. La pareja tiene en total 5 hijos. Responder: a) ¿Se ajusta esta situación a una distribución binomial?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean del tipo O?
Solución
a) La distribución binomial se ajusta, ya que cumple con las condiciones establecidas en apartados anteriores. Hay dos opciones: tener sangre tipo O es “éxito”, mientras que no tenerla es “fracaso”, y todas las observaciones son independientes.
b) Se tiene la distribución binomial:
x = 2 (obtener 2 hijos con sangre tipo O)
n= 5
p = 0.25
q = 0.75
Una universidad afirma que el 80% de los estudiantes que pertenecen al equipo de baloncesto universitario se gradúan. Una investigación examina el registro académico de 20 estudiantes pertenecientes a dicho equipo de baloncesto que se matricularon en la universidad tiempo atrás.
De estos 20 estudiantes, 11 finalizaron la carrera y 9 abandonaron los estudios.
Si la afirmación de la universidad es cierta, el número de estudiantes que juegan baloncesto y que logran graduarse, de entre 20, debería tener una distribución binomial con n = 20 y p = 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 11 de los 20 jugadores se gradúen?
Solución
En la distribución binomial:
x = 11
n= 20
p = 0.8
q = 0.2
Los investigadores realizaron un estudio para determinar si hubo diferencias significativas en las tasas de graduación entre los estudiantes de medicina admitidos a través de programas especiales y estudiantes de medicina admitidos a través de los criterios de admisión regulares.
Se encontró que la tasa de graduación fue del 94% para los médicos estudiantes admitidos a través de programas especiales (basados en datos del Journal of the American Medical Association).
Si 10 de los estudiantes de los programas especiales son seleccionados al azar, encuentre la probabilidad que al menos 9 de ellos se graduaron.
b) ¿Sería inusual seleccionar al azar a 10 estudiantes de los programas especiales y obtener que solo 7 de ellos se han graduado?
Solución
La probabilidad de que un estudiante admitido a través de un programa especial se gradúe es 94/100 = 0.94. Se escogen n =10 estudiantes de los programas especiales y se quiere averiguar la probabilidad de que al menos 9 de ellos se gradúen.
Enseguida se sustituyen los siguientes valores en la distribución binomial:
x = 9
n = 10
p = 0.94
b)
- Berenson, M. 1985. Estadística para Administración y Economía. Interamericana S.A.
- MathWorks. Distribución binomial. Recuperado de: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Estadística para Administración y Economía. 3ra. edición. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Estadística Básica Aplicada. 2da. Edición.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Distribución binomial. Recuperado de: es.wikipedia.org