Suma algebraica: qué es, cómo resolverla, ejemplos

¿Qué es la suma algebraica?

La suma algebraica consiste en reunir varias cantidades, que pueden tener distintos signos, en una sola cantidad resultante, llamada adición o simplemente, suma.

A cada sumando se le denomina término, así que una suma algebraica consta de dos o más términos, que pueden estar agrupados con paréntesis, corchetes y llaves, los conocidos símbolos de agrupación.

Esta suma puede llevarse a cabo con números reales, con expresiones algebraicas o con una combinación de ambas. También pueden sumarse vectores.

Por ejemplo, la siguiente es una suma algebraica con números enteros y símbolos de agrupación:

2 + [– 10 + (−4 + 11 − 17)]

Y esta otra involucra expresiones algebraicas y números reales:

4x² – 4xy + (2/5) x² – 12xy + 16

Más adelante se muestra con detalle la solución de estas sumas (ejemplos resueltos 6 y 14), pero antes conviene revisar las técnicas y propiedades aplicables en su resolución.

¿Cómo resolver sumas algebraicas?

Lo primero que se debe tener en cuenta para llevar a cabo la suma algebraica es la ley o regla de los signos:

• Si se quieren sumar cantidades con igual signo, se suman los valores absolutos y el resultado lleva el signo de las cantidades.
• Al sumar cantidades de signo distinto, se restan los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo de la cantidad con mayor valor absoluto.
• Al multiplicar o dividir dos números de igual signo, el resultado siempre es positivo.
• Y si se quiere multiplicar o dividir dos números con signos diferentes, el resultado es negativo.

Como recordatorio, el valor absoluto de una cantidad cualquiera x, sea numérica o algebraica, se denota mediante │x│ y se calcula así:

• │x│= x, si x > 0
• │x│ = −x, si x 0

Por ejemplo:

│3│ = 3

│−5│= − (−5) = 5

Jerarquía de operaciones

Puede que en una suma algebraica aparezcan los mencionados símbolos de agrupación, o se trate de una operación más compleja en la que aparezcan, además de la suma, una multiplicación, división, exponente o raíz.

Entonces, antes de efectuar la suma, hay que recurrir a la jerarquía de operaciones, para saber el orden que debe llevarse durante la resolución:

1.- Eliminar primero los signos de agrupación, comenzando por los más internos.

2.- Resolver exponentes o raíces, si los hay.

3.- Llevar a cabo las multiplicaciones o divisiones, en caso de que la operación incluya algunas, siempre de acuerdo a la regla de los signos enunciada más arriba.

4.- Una vez hecho esto, se resuelven las sumas algebraicas, siguiendo los lineamientos dados por la regla de los signos.

En caso de que existan varias operaciones de igual jerarquía, se comienza a resolver de izquierda a derecha.

Importante: todo paréntesis precedido por el signo +, ya sea escrito de manera de explícita o no, se puede suprimir sin afectar el signo del contenido. Pero si el paréntesis es precedido por un signo –, entonces los signos del contenido cambian.

Por ejemplo:

• (– 5 + 8 – 13) = – 5 + 8 –13
• –(4 + 25 – 76 –1) = – 4 – 25 + 76 +1

Propiedades de la suma algebraica

1.- Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir: a + b = b + a.

2.- Propiedad asociativa: si la operación consta de más de dos términos, se pueden asociar los dos primeros, obtener su resultado, sumarlo al siguiente y así sucesivamente. Por lo tanto:

(a + b) + c = a + (b + c)

3.- Elemento neutro de la adición: es el 0, por lo que: a + 0 = a

4.- Opuesto: dada la cantidad “a”, su opuesto es “-a”, para cumplir que: a + (-a) = 0

5.- Cuando se tiene una expresión mixta, que consta de números y términos algebraicos, solamente se suman los que son semejantes y se deja indicada la suma de los términos no semejantes.

Los términos semejantes son aquellos cuya parte literal es idéntica, aunque pueden diferir en el coeficiente. Por ejemplo:

1 + x² – 4x² – 7 = (1–7) + (x² – 4x²) = – 6 – 3x²

Los términos x² y 4x² son semejantes, puesto que tienen la misma letra y exponente. Nótese también que los números se suman aparte de las expresiones literales (con letra) y el resultado se deja indicado.

Ejemplos

Suma algebraica de números enteros

Hay varias estrategias, aplicando las reglas de los signos y las propiedades antes descritas. Por ejemplo, se pueden sumar aparte las cantidades positivas y negativas, y luego restar los resultados respectivos.

1) 7− 8 + 4 − 10 − 25 + 4 = (7 + 4 + 4) + (− 8 −10 − 25) = 15 + (−43) = − 28

2) −15 + 7 − 13 − 34 + 18 −24−26 = (7 + 18) + (−15 − 13 − 34 − 24 − 26) = 25 + (−112) = − 87

3) [83 + (–99)] + 18 = –16 + 18 = 2

4) 21 – 3 – 7 + 20 + 9 – 10 + 15 – 25 + 10 = (21 + 20 + 9 + 15 + 10) + (– 3 – 7– 10 – 25) = 75 –  45 = 30

En el siguiente ejercicio, se debe tener presente que un signo de agrupación precedido de un signo menos, cambia de signo el contenido:

5) 9 – [3 – (–9 + 8 + 21)] – 27  = 9 – [3 + 9 – 8 –21] – 27 = 9 – 3 – 9 + 8 + 21 – 27 = (9 + 8 + 21) + (– 3 – 9 – 27) = 38 – 39 = – 1

6) 2 + [ – 10 + (−4 + 11 − 17)] = 2 + [ – 10 − 4 + 11 − 17] = 2 + [11+ (– 10 − 4  − 17)] = 2 + [11+ (– 31)] = 2 +  (– 20)= – 18

7) El emperador romano Augusto comenzó su reinado en – 27 a.C y gobernó hasta su muerte, durante 41 años. El año en que finalizó el reinado de Augusto fue:

− 27 + 41 = 14 d.C.

8) El ascensor de un edificio se encuentra en el segundo sótano, sube siete pisos, desciende cuatro, sube 15 y baja 6. ¿En qué piso se encuentra el ascensor?

Primero se asignan los signos: el nivel 0 al nivel de la calle, cuando el ascensor sube cierta cantidad de pisos se considera una cantidad positiva y cuando baja es negativa:

−2 + 7 − 4 + 15 − 6 = (7 + 15) + (−2− 4− 6) = 22 – 12 = +10

El ascensor está en el décimo piso.

Suma algebraica de números reales

Los números reales incluyen a los números naturales, los racionales y los irracionales:

9) 4 − 3⅚ − √2 + 6√2 + ½ + 11 = (4 + 11) + ( ½ − 3⅚) + (6√2− √2) = 15 + (–10/3) + 5√2 = 35/3 + 5√2

10) 3 − 5.5 + (−8.7) =3 − 5.5 − 8.7 = −11.2

Suma de monomios y polinomios

Los monomios contienen una parte literal con su respectivo exponente, que es un número entero mayor que 1, y un coeficiente numérico perteneciente al conjunto de los números reales. La parte literal puede constar de una o más letras.

Las expresiones: −3x², √5∙ x³ y 8x²y³ son ejemplos de monomios. En cambio, no son monomios: 2x⁻³ y 7√x.

Las sumas algebraicas entre monomios solamente se pueden ejecutar cuando los monomios son semejantes, en tal caso, el resultado es otro monomio. A este procedimiento también se le denomina reducción de monomios:

11) (3/2)∙x³y + 2∙x³y =(7/2)∙x³y

Si los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y resulta en un polinomio:

12) 1 + 6x − 5x² = 1 + 6x − 5x²

13) (√3·x⁸ + 4x) + (5x⁸  + 3x) = (√3·x⁸ + 5x⁸ ) + (4x + 3x) = (√3 + 5)⋅x⁸ + 7x

Si en una suma aparecen términos semejantes, estos se pueden reducir:

14) 4x² – 4xy + (2/5) x² – 12xy + 16 = (4x²  + (2/5) x² )+ (– 4xy – 12xy)+ 16 =(22/5)x² – 16xy + 16

15) 3x²  +  5x − 2x² − 9x =  (3x² − 2x²)+ (5x − 9x) = x² − 4x

16) 5x³ –7x + 2x – 9x² + 2x³ – 5x² = (5x³ +2x³) + (– 9x² – 5x² ) + (–7x + 2x) = 7x³– 14x² – 5x

La suma de polinomios puede llevarse a cabo de forma horizontal, como en los ejemplos precedentes, o bien de forma vertical. El resultado es el mismo en ambos casos.

17) Sumar de dos maneras los polinomios:

• 5x² + 7y − 6z²
• 4y + 3x²
• 9x² + 2z² − 9y
• 2y − 2x²

En forma horizontal:

(5x² + 7y − 6z²) + (4y + 3x²) + (9x² + 2z² − 9y) + (2y − 2x²) = (5x² + 3x² + 9x² − 2x²) + (− 6z² +2z²) + (7y + 4y − 9y + 2y) = 15x²− 4z² + 4y

En forma vertical:

+ 5x² + 7y − 6z²
+ 3x² + 4y
+ 9x² − 9y + 2z²
−2x²  + 2y
_______________________
+ 15x² + 4y − 4z²

18) (1/2 x² + 4 ) + (3/2 x² + 5 ) + (x² + 2) = (1/2 x² + 3/2 x² + x²) + (4 + 5 + 2) =

19) (3x² − 5x +1) + (x² −7x−3) =  (3x² + x²) + (− 5x −7x) + (1 − 3) = 4x² −12x − 2

20) Efectuar la suma de los polinomios:

• P(x) = 3x⁴ + 3x² − 5x + 7
• Q(x)= 2x⁵ − x⁴ + x³ − 2x² + x – 3
• R(x) = − 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ − 4x − 5

Empleando el método vertical, los polinomios se completan con ayuda de términos de la forma 0xⁿ  y se procede a sumar términos semejantes:

0x⁵ + 3x⁴ + 0x³ + 3x² − 5x  + 7
2x⁵ − x⁴  +  x³  −  2x² +  x  − 3
−3x⁵ +2x⁴ + 2x³ + 0x² − 4x − 5
_______________________________
− x⁵ +  4x⁴ + 3x³  + x²  −  8x − 1