Conjunto infinito: propiedades, ejemplos
Se entiende por conjunto infinito aquel conjunto en el que el número de sus elementos es incontable. Es decir, sin importar lo grande que pueda ser el número de sus elementos, siempre es posible encontrar más.
El ejemplo más común de conjunto infinito es el de los números naturales N. No importa lo grande que sea el número, ya que siempre se puede conseguir uno mayor en un proceso que no tiene final:
N = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ……………………………………….,100, 101,………………………, 126, 127, 128,………………………………………}
El conjunto de las estrellas del universo con toda seguridad es inmenso, pero no se sabe a ciencia cierta si es finito o infinito. En contraste con el número de planetas del sistema solar del que se sabe que es un conjunto finito.
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Entre las propiedades de los conjuntos infinitos podemos señalar las siguientes:
1- La unión de dos conjuntos infinitos da lugar a un nuevo conjunto infinito.
2- La unión de un conjunto finito con uno infinito da lugar a un nuevo conjunto infinito.
3- Si el subconjunto de un conjunto dado es infinito, entonces el conjunto original también lo es. La afirmación recíproca no es cierta.
No se puede hallar un número natural capaz de expresar la cardinalidad o número de elementos de un conjunto infinito. Sin embargo, el matemático alemán Georg Cantor introdujo el concepto de número transfinito para referirse a un ordinal infinito mayor que cualquier número natural.
El ejemplo más frecuente de un conjunto infinito es el de los números naturales. Los números naturales son los que sirven para contar, sin embargo son incontables los números enteros que puedan existir.
El conjunto de los números naturales no incluye a cero y se denota comúnmente como el conjunto N, el cual en forma extensiva se expresa de la siguiente manera:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ….} y es claramente un conjunto infinito.
Los puntos suspensivos se usan para indicar que después de un número, le sigue otro y después otro en un proceso interminable o sin fin.
Al conjunto de los números naturales unido con el conjunto que contiene al número cero (0) se le conoce como el conjunto N+.
N+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….} que es el resultado de la unión del conjunto infinito N con el conjunto finito O = { 0 }, dando como resultado el conjunto infinito N+.
El conjunto de los números enteros Z está conformado por los números naturales, los números naturales con signo negativo y el cero.
Los números enteros Z se consideran una evolución respecto de los números naturales N usados original y primitivamente en el proceso de contar.
En el conjunto numérico Z de los enteros se incorpora el cero para contabilizar o contar nada y los números negativos para contabilizar extracción, pérdida o faltante de algo.
Para ilustrar la idea suponga que en la cuenta bancaria aparece saldo negativo. Esto significa que la cuenta está por debajo de cero y no solo es que la cuenta está vacía sino que tiene una diferencia faltante o negativa, que de alguna forma ha de reponerse al banco.
En forma extensiva el conjunto infinito Z de los números enteros se escribe así:
Z = { ……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}
En la evolución del proceso de contar, e intercambiar cosas, bienes o servicios, aparecen los números fraccionarios o racionales.
Por ejemplo, en el intercambio de medio pan con dos manzanas, al momento de llevar el registro de la transacción, a alguien se le ocurrió que debía escribirse medio como uno dividido o seccionado en dos partes: ½. Pero la mitad de la mitad del pan se registraría en los libros contables de la siguiente manera: ½ / ½ = ¼.
Está claro que este proceso de división puede ser interminable en teoría, aunque en la práctica es hasta que se llegue a la última partícula de pan.
El conjunto de los números racionales (o fraccionarios) se denota de la siguiente manera:
Q = { ………, -3, …., -2, ….., -1, ……, 0, ….., 1, ……, 2, ….., 3,……..}
Los puntos suspensivos entre los dos números enteros significa que entre esos dos números o valores hay infinitas particiones o divisiones. Por eso se dice que el conjunto de los números racionales es infinitamente denso. Esto se debe a que sin importar lo cerca que puedan estar dos números racionales entre ellos, puede encontrarse infinitos valores.
Para ilustrar lo anterior supongamos que se nos pide encontrar u número racional entre 2 y 3. Este número puede ser 2⅓ , que es lo que se conoce como un número mixto consistente en 2 partes enteras más una tercera parte de la unidad, el cual es equivalente a escribir 4/3.
Entre 2 y 2⅓ puede encontrarse otro valor, por ejemplo 2⅙. Y entre 2 y 2⅙ puede hallarse otro valor, por ejemplo 2⅛. Entre estos dos otro, y entre ellos otro, otro y otro.
Hay números que no pueden escribirse como la división o fracción de dos números enteros. Es este conjunto numérico al que se le conoce como el conjunto I de los números irracionales y también es un conjunto infinito.
Algunos elementos o representantes notables de este conjunto numérico son el número pi (π), el número de Euler (e), la razón de oro o número áureo (φ). Estos números solo pueden escribirse en forma aproximada mediante un número racional:
π = 3.1415926535897932384626433832795…… (y continúa al infinito y más allá…)
e = 2,7182818284590452353602874713527…….(y sigue más allá del infinito…)
φ = 1,61803398874989484820……..(hasta el infinito…..y más allá…..)
Otros números irracionales aparecen al tratar de hallar soluciones a ecuaciones muy sencillas por ejemplo la ecuación X^2 = 2 no tiene solución racional exacta. La solución exacta se expresa mediante la siguiente simbología: X = √2, que se lee equis igual a raíz de dos. Una expresión racional (o decimal) aproximada de √2 es:
√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.
Hay un sinnúmero de números irracionales, √3, √7, √11, 3^(⅓), 5^(⅖) por nombrar algunos.
Los números reales es el conjunto numérico que con más frecuencia se usa en el cálculo matemático, en la física y en la ingeniería. Este conjunto numérico es la unión de los números racionales Q y los números irracionales I:
R = Q U I
Entre los conjuntos infinitos algunos son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales N es infinito, sin embargo es un subconjunto de los números enteros Z que también es infinito, por tanto el conjunto infinito Z es mayor que el conjunto infinito N.
De forma similar, el conjunto de los números enteros Z es un subconjunto de los números reales R, y por lo tanto el conjunto R es “más infinito” que el conjunto infinito Z.
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