Suma de los cuadrados de dos números consecutivos

Para saber cuál es la suma de los cuadrados de dos números consecutivos, se puede encontrar una fórmula, con la cual solo basta sustituir los números involucrados para obtener el resultado. Esta fórmula se puede encontrar de manera general, es decir, que sirve para cualquier par de números consecutivos.

Al decir “números consecutivos”, implícitamente se está diciendo que ambos números son números enteros. Y al hablar de “los cuadrados” se está refiriendo a elevar al cuadrado cada número.

Por ejemplo, si se consideran los números 1 y 2, sus cuadrados son 1²=1 y 2²=4, por tanto, la suma de los cuadrados es  1 + 4 = 5.

Por otro lado, si se toman los números 5 y 6, sus cuadrados son 5²=25 y 6²=36, con lo cual la suma de los cuadrados es 25 + 36 = 61.

¿Cuál es la suma de los cuadrados de dos números consecutivos?

El objetivo ahora es generalizar lo hecho en los ejemplos anteriores. Para ello es necesario encontrar una forma general de escribir un número entero y su entero consecutivo.

Si se observa dos enteros consecutivos, por ejemplo 1 y 2, se puede apreciar que 2 se puede escribir como 1+1. También, si se observan los números 23 y 24, se concluye que 24 se puede escribir como 23+1.

Para los enteros negativos también se puede verificar este comportamiento. En efecto, si se consideran -35 y -36, se puede ver que -35 = -36 + 1.

Por lo tanto, si se escoge cualquier número entero “n”, entonces el entero consecutivo a “n” es “n+1”. Así, ya se ha establecido una relación entre dos enteros consecutivos.

¿Cuál es la suma de los cuadrados?

Sean dados dos enteros consecutivos “n” y “n+1”, entonces sus cuadrados son “n²” y “(n+1)²”. Utilizando las propiedades de los productos notables, este último término se puede escribir como sigue:

(n+1)² = n² + 2*n*1 + 1² = n²+2n+1.

Por último, la suma de los cuadrados de los dos números consecutivos está dada por la expresión:

n²+n²+2n+1 = 2n² + 2n +1 = 2n(n+1)+1.

Si se detalla la fórmula anterior, se puede apreciar que solo basta conocer el menor número entero “n” para conocer cuál es la suma de los cuadrados, es decir, solo basta utilizar el menor de los dos números enteros.

Otra perspectiva de la fórmula obtenida es: se multiplican los números escogidos, luego el resultado obtenido es multiplicado por 2 y por último se le suma 1.

Por otro lado, el primer sumando de la derecha es un número par, y al sumarle 1 el resultado será impar. Esto dice, que el resultado de sumar los cuadrados de dos números consecutivos siempre será un número impar.

También se puede destacar que como se está sumando dos números elevados al cuadrado, entonces este resultado siempre será positivo.

Ejemplos

1.- Considere los enteros 1 y 2. El menor entero es 1. Utilizando la fórmula anterior, se concluye que la suma de los cuadrados es: 2*(1)*(1+1)+1 = 2*2+1 = 4+1 = 5. Lo cual concuerda con las cuentas realizadas al comienzo.

2.- Si se toman los enteros 5 y 6, entonces la suma de los cuadrados será 2*5*6 + 1 = 60 + 1 = 61, lo cual también coincide con el resultado obtenido al comienzo.

3.- Si se escogen los enteros -10 y -9, entonces la suma de sus cuadrados es: 2*(-10)*(-9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Sean los enteros en esta oportunidad -1 y 0, entonces la suma de sus cuadrados está dada por 2*(-1)*(0) + 1 = 0 +1 = 1.