Trinomio: definición, ejemplos y ejercicios fáciles resueltos

¿Qué es un trinomio?

Un trinomio es un polinomio que consta de la suma indicada de tres términos diferentes, es decir, se construye sumando algebraicamente tres monomios de distintos grados, ya sea de una o más variables. Son polinomios muy comunes en álgebra.

Algunos ejemplos de trinomios son los siguientes:

• x² + 5x – 3 (trinomio de grado 2)
• x– x² – 6x³  (trinomio de grado 3)
• –7xy² + 4x²y – x³ (trinomio de grado absoluto 3, de grado 3 en x y de grado 2 en y)

El primero y el segundo de estos trinomios son de una sola variable, en este caso la variable “x”, mientras que el tercer trinomio es de dos variables “x” y “y”.

Ejemplos de trinomios

Hay varios tipos de trinomios que se presentan en numerosas aplicaciones, entre los que destacan:

Trinomio cuadrado perfecto

Se obtiene un trinomio cuadrado perfecto al desarrollar el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia de términos. Ambos desarrollos se conocen con el nombre de productos notables.

En primer lugar se tiene el cuadrado de la suma: (a + b)². Al desarrollar esta expresión se obtiene:

(a + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + a∙b + b∙a + b²

Los dos términos centrales son idénticos y se reducen a  2a∙b, por lo tanto:

(a + b)² = a² + 2a∙b + b²

El trinomio a² + 2a∙b + b² contiene dos cuadrados perfectos: a² y b², mientras que el término restante es igual al doble producto de los dos términos del binomio original.

El cuadrado de una diferencia resulta un trinomio semejante al anterior, salvo por un signo negativo que afecta al doble producto de los términos del binomio original:

(a − b)² = (a − b) × (a − b) = a² −  a∙b −  b∙a + b²

Nuevamente se reducen los términos semejantes a un solo término y se obtiene que:

(a − b)² = a² −  2a∙b + b²

Ya no es posible reducir más el resultado.

Estos productos notables, fácilmente memorizables, asocian un trinomio cuadrado perfecto con el cuadrado del binomio correspondiente, por ejemplo:

• (x − 5)² = x² −  10∙x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12∙y + 9

Hay que acotar que No todos los trinomios cuadrados perfectos son de una variable o de grado 2. Aquí hay ejemplos de este tipo de trinomios con dos y más variables y también con grados diferentes de 2:

• (x + y)² = x² + 2∙xy + y²
• (2z² + y)² = 4z⁴ + 4∙z²y + y²
• (5xy³ − z)² = 25x²y⁶ − 10 xy³z + z²

Trinomio de la forma x² + bx + c

En este trinomio solamente uno de los términos es cuadrado perfecto, en este caso es x² y su coeficiente numérico es 1. El siguiente término b⋅x es lineal y el último término es el término independiente. Ejemplos de esta clase de trinomios son:

• x² +  5∙x + 6  (b = 5; c = 6)
• y² −  4∙y + 3  (b = −4; c = 3)
• m² −  12∙m + 11  (b = −12; c = 11)

Trinomio de la forma ax² + bx + c

Se asemeja a los anteriores, excepto que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1, como en estos trinomios:

• 3x² −  5∙x − 2  (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7∙y + 2  (a=6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29∙m + 90  (a=2; b = 29; c = 90)

Factorización de trinomios

Una operación algebraica muy frecuente es la factorización de trinomios, que consiste en escribirlos como el producto de factores diferentes de 1. Existen procedimientos específicos para cada uno de los trinomios descritos.

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Se pueden factorizar por inspección a partir de los productos notables:

(a + b)² = a² + 2a∙b + b²

(a − b)² = a² − 2a∙b + b²

Los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son:

1.- Verificar que el trinomio contiene dos cuadrados perfectos a² y b², ambos términos deben estar precedidos por el mismo signo, usualmente el signo +. Si ambos están precedidos por signo − este se puede factorizar sin problema.

2.- Determinar los valores de a y b extrayendo la raíz cuadrada de a² y b².

3.- Corroborar que el tercer término es el doble producto de a y b.

Factorización de trinomios de la forma x² + bx + c

Este es el trinomio con un término cuadrático único, para factorizarlo se escribe como el producto de dos binomios:

x² + bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Donde r y s son dos números a determinar.

Nótese que al desarrollar el lado derecho, mediante la propiedad distributiva, se obtiene:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + s∙x + r∙x + r∙s = x² + (r+s)∙x + r∙s

Entonces, para que esta expresión refleje al trinomio original, los números u y v deben cumplir las siguientes condiciones:

r∙s = c
r + s = b

Algunos trinomios de la forma x² + bx + c no admiten factorización por este método, sin embargo se los puede factorizar con ayuda de la fórmula general o fórmula resolvente.

Factorización de trinomios de la forma ax² + bx + c

Un procedimiento para factorizar este tipo de trinomios es:

1. Multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente “a”
2. Efectuar el producto entre “a” y el primero y el tercer término del trinomio, dejando sin efectuar el producto con el segundo término.
3. Al trinomio obtenido se le aplica el procedimiento descrito en el apartado anterior, esto es, se escribe como el producto de dos binomios, pero en este caso el primer término de cada binomio no es “x”, sino “a∙x”.
4. Se buscan dos números r y s tales que a∙c = r∙s y además r + s = b
5. Por último se simplifican en lo posible los binomios que resultan, véase el ejercicio resuelto 3.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar el trinomio que resulta al desarrollar el siguiente producto notable: (4x − 3y)²

• Solución

Se aplica la fórmula del producto notable para el cuadrado de una diferencia, dando como resultado:

(4x − 3y)² = (4x)² −  2∙4x∙3y + (3y)² = 16x² −  24∙xy + 9y²

Ejercicio 2

Factorizar el siguiente trinomio:

x² +  5x + 6

• Solución

Este un trinomio de la forma x² + bx + c, con  b = 5 y c = 6, por lo que se puede intentar factorizar con el procedimiento antes descrito. Para ello hay que encontrar dos números r y s tales que multiplicados se obtenga 6 y sumados den 5:

r∙s = 6 y r + s = 5.

Los números buscados son r = 3 y s = 2, ya que cumplen con estas condiciones, por lo tanto:

x² +  5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Se deja como ejercicio para el lector comprobar que desarrollando el lado derecho se llega fácilmente al trinomio original.

Ejercicio 3

Factorizar 3x² −  5x − 2.

• Solución

Este es un trinomio de la forma ax² + bx + c, con  a = 3, b = −5 y c = −2. El procedimiento es:

-Multiplicar y dividir por a =3:

Efectuar el producto de “a” por el primero y el tercer término, dejando indicado el producto con el segundo término:

Ahora hay que escribir el producto de dos binomios, cuyo primer término sea 3x y buscar dos números r y s tales que:

• Al ser multiplicados den −6
• Y al ser sumados algebraicamente se obtenga −5

Estos números son r = −6 y s = 1:

Finalmente se simplifica el producto de binomios resultante:

Ejercicios propuestos

Factorizar los siguientes trinomios:²

1. x² – 14x + 49
2. p² + 12pq + 36q²
3. 12x² – x – 6
4. z² + 6z + 8

Referencias

1. Baldor. 1977. Álgebra Elemental. Ediciones Cultural Venezolana.
2. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
4. Zill, D. 1984. Álgebra y Trigonometría. 1ra. Edición. McGraw Hill.
5. Zill, D. 2008. Precálculo con avances de cálculo. 4ta. Edición. McGraw Hill.