Tiro vertical: fórmulas, ecuaciones, ejemplos

El tiro vertical es un movimiento que tiene lugar bajo la acción de un campo de fuerzas, comúnmente el de la gravedad, pudiendo ser ascendente o descendente. También se le conoce con el nombre de lanzamiento vertical.

El ejemplo más inmediato se tiene arrojando hacia arriba (o hacia abajo si se prefiere) una pelota con la mano, eso sí, asegurándose de hacerlo en dirección vertical. Despreciando la resistencia del aire, el movimiento que sigue la pelota se ajusta perfectamente al modelo de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

El tiro vertical es un movimiento ampliamente estudiado en los cursos introductorios de física, ya que es una muestra del movimiento en una dimensión, un modelo muy simple y útil.

Este modelo no solamente puede ser usado para estudiar la cinemática de objetos bajo la acción de la gravedad, sino que también, como se verá más adelante, describe el movimiento de partículas en medio de un campo eléctrico uniforme.

Índice del artículo

• 1 Fórmulas y ecuaciones
  • 1.1 Ecuaciones del tiro vertical
• 2 Ejemplos
  • 2.1 Ejemplo resuelto 1
  • 2.2 Ejemplo resuelto 2
• 3 Referencias

Fórmulas y ecuaciones

Lo primero que se necesita es un sistema de coordenadas para señalar el origen y etiquetarlo con una letra, que en el caso de los movimientos verticales es la letra “y”.

Seguidamente se selecciona el sentido positivo +y, que por lo general es hacia arriba y el sentido –y que suele tomarse hacia abajo (véase la figura 2). Todo ello a menos que quien resuelve el problema decida lo contrario, ya que otra opción consiste en tomar como positiva la dirección del movimiento, sea cual sea esta.

En todo caso es recomendable que el origen coincida con el punto del lanzamiento y_o, porque así se simplifican las ecuaciones, aunque puede tomarse cualquier posición que se desee para comenzar a estudiar el movimiento.

Ecuaciones del tiro vertical

Una vez establecido el sistema de coordenadas y el origen, vamos a las ecuaciones. Las magnitudes que describen el movimiento son:

-Velocidad inicial v_o

-Aceleración a

-Velocidad v

-Posición inicial x_o

-Posición x

-Desplazamiento Dx

-Tiempo t

Todas excepto el tiempo son vectores, pero puesto que se trata de un movimiento unidimensional con una dirección determinada, lo que importa entonces es usar signos de + o – para señalar a donde se dirige la magnitud en cuestión. En el caso del tiro vertical la gravedad siempre va hacia abajo y, a menos que se especifique otra cosa, se le adjudica signo -.

Seguidamente están las ecuaciones adaptadas para el tiro vertical, sustituyendo “x” por “y” y “a” por “g”. Además se incluirá de una vez el signo (-) correspondiente a la gravedad dirigida hacia abajo:

1) Posición: y = y_o + v_o.t – ½ g.t²

2) Velocidad: v = v_o – g.t

3) Velocidad en función del desplazamiento Δy: v² = v_o² – 2.g. Δy

Ejemplos

Seguidamente hay ejemplos de aplicación para el tiro vertical. En su resolución se deberá tener en cuenta lo siguiente:

-“g” tiene un valor constante que en promedio es 9,8 m/s² o aproximadamente 10 m/s² si se prefiere para facilitar los cálculos cuando no se requiere demasiada precisión.

-Cuando v_ovale 0, estas ecuaciones se reducen a las de caída libre.

-Si el lanzamiento es hacia arriba, el objeto necesita tener una velocidad inicial que le permita moverse. Una vez en movimiento, el objeto alcanza una altura máxima que dependerá de cuán grande sea la velocidad inicial. Desde luego a mayor altura, más tiempo pasará el móvil en el aire.

-El objeto retorna al punto de partida con la misma rapidez con la que fue lanzado, pero la velocidad va dirigida hacia abajo.

-Para un lanzamiento vertical hacia abajo, cuanto mayor sea la velocidad inicial, más pronto llegará el objeto al suelo. Aquí la distancia recorrida se fija conforme a la altura seleccionada para el lanzamiento.

-En el tiro vertical hacia arriba, el tiempo que le toma al móvil alcanzar la altura máxima se calcula haciendo v = 0 en la ecuación 2) del apartado anterior. Este es el tiempo máximot_max:

0 = v_o – g . t_max ⇒ t_max = v_o /g

-La altura máximay_max se despeja de la ecuación 3) del apartado anterior haciendo igualmente v = 0:

0 = v_o² – 2.g. Δy  ⇒ 0 = v_o² – 2.g. (y_max – y_o) ⇒  y_max = y_o  + v_o² / 2g

Si y_o = 0, se reduce a:

y_max = v_o² / 2g

Ejemplo resuelto 1

Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con v_o = 14 m/s, desde lo alto de un edificio de 18 m de altura. A la pelota se le permite seguir su camino de bajada hasta la acera. Calcular:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota respecto al suelo.

b) El tiempo que estuvo en el aire (tiempo de vuelo).

Solución

En la figura aparecen por separado los movimientos de subida y bajada de la pelota para mayor claridad, pero ambos suceden a lo largo de la misma línea. La posición inicial se toma en y = 0, de manera que la posición final es y = – 18 m.

a) La altura máxima medida desde la azotea del edificio es y_max = v_o² / 2g y del enunciado se lee que la velocidad inicial es de +14 m/s, entonces:

y_max = (14 m/s )² / 2 x 9.8 m/s² =  10 m (Respecto a la azotea)

H_max = 10 m + 18 m = 28 m (Respecto a la acera).

b) Para encontrar el tiempo total o tiempo de vuelo que dura en el aire la pelota se usará la ecuación y = y_o + v_o.t – ½ g.t², con los siguientes valores y signos:

y = – 18 m

y_o = 0 m

v_o = +14 m/s

Sustituyendo:

– 18 = 14.t – ½ 9.8 .t²  

– 4.9 t²+14.t + 18 = 0 

4.9 t²-14.t – 18 = 0

Se trata de una ecuación de segundo grado que se resuelve fácilmente con ayuda de una calculadora científica o usando la resolvente. Las soluciones son: 3.82 y -0.96. Se desecha la solución negativa puesto que al tratarse de un tiempo carece de sentido físico.

El tiempo de vuelo de la pelota es de 3.82 segundos.

Ejemplo resuelto 2

Una partícula cargada positivamente con q = +1.2 milicoulombs (mC) y masa m = 2.3 x 10 ^-10 Kg se proyecta verticalmente hacia arriba, partiendo de la posición mostrada en la figura y con velocidad inicial v_o = 30 km/s.

Entre las placas cargadas existe un campo eléctrico E uniforme, dirigido verticalmente hacia abajo y con magnitud de 780 N/C. Si la distancia entre las placas es de 18 cm, ¿chocará la partícula con la placa superior? Desprecie la atracción gravitatoria sobre la partícula, ya que es sumamente liviana.

Solución

En este problema el campo eléctrico E es el que produce una fuerza F y la consiguiente aceleración. Al estar cargada positivamente, la partícula siempre es atraída por la placa inferior, sin embargo cuando se la proyecta verticalmente hacia arriba alcanzará una altura máxima y luego regresará a la placa inferior, tal como la pelota de los ejemplos anteriores.

Por definición de campo eléctrico:

E  = F/q = m.a /q ⇒ a = q.E / m

Es necesario usar esta equivalencia antes de sustituir valores:

1 mC = 1 x 10^-3 C

Con ello la aceleración es:

a = 1.2 x 10^-3 x 780 / 2.3 x 10 ^-10m/s² = 4.07 x 10⁹ m/s²

Para la altura máxima se emplea la fórmula de la sección precedente, pero en vez de usar “g” se usa este valor de la aceleración:

y_max = v_o² / 2a = (30.000 m/s)²/2 x 4.07 x 10⁹ m/s² = 0.11 m = 11 cm

No choca con la placa superior, ya que esta se encuentra a 18 cm del punto de partida, y la partícula nada más alcanza a subir 11 cm.

Referencias

1. Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada al mundo. 6^ta Edición abreviada. Cengage Learning. 23 – 27.
2. Rex, A. 2011. Fundamentos de Física. Pearson. 33 – 36
3. Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14^th. Ed. Volume 1. 50 – 53.
4. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentos de Física. 9^na Ed. Cengage Learning. 43 – 55.
5. Wilson, J. 2011. Física 10. Pearson Educación. 133 – 149.