Triángulo acutángulo: concepto, características, tipos, ejemplos

¿Qué son los triángulos acutángulos?

Los triángulos acutángulos son aquellos cuyos tres ángulos internos son ángulos agudos; es decir, la medida de cada uno de esos ángulos es menor a 90° grados. Al no tener ningún ángulo recto, tenemos que el teorema de Pitágoras no se cumple para esta figura geométrica.

Por ello, si queremos tener algún tipo de información sobre cualquiera de sus lados o ángulos es necesario hacer uso de otros teoremas que nos permitan tener acceso a dichos datos. Los que podemos utilizar son el teorema del seno y el teorema del coseno.

Características de un triángulo acutángulo

Entre las características que posee esta figura geométrica podemos resaltar aquellas que vienen dadas por el simple hecho de ser un triángulo. Entre estas tenemos que:

– Un triángulo es un polígono que posee tres lados y tres ángulos.

– La suma de sus tres ángulos internos es igual a 180°.

– La suma de dos de sus lados siempre es mayor al tercero.

Como ejemplo veamos el siguiente triángulo ABC. De forma general identificamos a sus lados con letra minúscula y a sus ángulos con letra mayúscula, de forma tal que un lado y su ángulo opuesto posean la misma letra.

Por las características ya dadas, sabemos que:

A + B + C = 180°

a + b > c, a + c  >  b  y  b + c  > a

La característica principal que distingue este tipo de triángulo del resto es que, como ya mencionamos, sus ángulos internos son agudos; es decir, la medida de cada uno de sus ángulos es menor a 90°.

Los triángulos acutángulos, junto a los triángulos obtusángulos (aquellos en los que uno de sus ángulos posee una medida mayor a 90°), forman parte del conjunto de triángulos oblicuángulos. Este conjunto está formado por los triángulos que no son rectángulos.

Al formar parte los triángulos oblicuángulos, tenemos que para poder resolver problemas donde intervengan triángulos acutángulos debemos hacer uso del teorema del seno y del teorema del coseno.

Teorema del seno

El teorema del seno nos afirma que la razón de un lado con el seno de su ángulo opuesto es igual a dos veces el radio del círculo formado por los tres vértices de dicho triangulo. Es decir:

2r= a/sen(A)= b/sen(B)= c/sen(C)

Teorema del coseno

Por otra parte, el teorema del coseno nos da estas tres igualdades para cualquier triangulo ABC:

a²= b² + c² -2bc*cos(A)

b²= a² + c² -2ac*cos(B)

c²= a² + b² -2ab*cos(C)

Estos teoremas también son conocidos como ley del seno y ley del coseno, respectivamente.

Otra característica que podemos dar de los triángulos acutángulos es que dos de estos son iguales si cumplen con alguno de los siguientes criterios:

• Si tienen los tres lados iguales.
• Si tienen un lado y dos ángulos iguales entre sí.
• Si tienen dos lados y un ángulo iguales.

Tipos de triángulos acutángulos

Los triángulos acutángulos los podemos clasificar en función de sus lados. Estos pueden ser:

Triángulos acutángulos equiláteros

Son los triángulos acutángulos que poseen todos sus lados iguales y, por lo tanto, todos sus ángulos internos poseen el mismo valor, el cual es A = B = C = 60° grados.

Como ejemplo tomemos el siguiente triángulo, cuyos lados a, b y c tienen un valor de 4.

Triángulos acutángulos isósceles

Estos triángulos, además de tener ángulos internos agudos, tienen la característica de poseer dos de sus lados iguales y el tercero, que se toma generalmente como la base, diferente.

Un ejemplo de este tipo de triángulos puede ser uno cuya base sea de 3 y sus otros dos lados tengan un valor de 5. Con estas medidas tendría los ángulos opuestos a los lados iguales con el valor de 72,55° y el ángulo opuesto de la base sería de 34,9°.

Triángulos acutángulos escaleno

Estos son los triángulos que poseen todos sus lados diferentes dos a dos. Por lo tanto, todos sus ángulos, además de ser menores de 90°, son distintos dos a dos.

El triángulo DEF (cuyas medidas son d = 4, e = 5 y f = 6 y sus ángulos son D = 41,41°, E = 55,79° y F = 82,8°) es un buen ejemplo de un triángulo acutángulo escaleno.

Resolución de triángulos acutángulos

Como dijimos anteriormente, para la resolución de problemas en donde intervienen triángulos acutángulos es necesaria la utilización de los teoremas del seno y el coseno.

Ejemplo 1

Dado un triángulo ABC con ángulos A = 30°, B = 70° y de lado a = 5cm, deseamos saber el valor del ángulo C y los lados b y c.

Lo primero que hacemos es usar el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, para así obtener el valor del ángulo C.

180°= A + B + C = 30°+70° + C = 100° + C

Despejamos C y nos queda:

C = 180° – 100° = 80°

Como ya conocemos los tres ángulos y un lado, podemos usar el teorema del seno para determinar el valor de los lados restantes. Por el teorema tenemos que:

a/sen(A) = b/sen(B)  y  a/sen(A)= c/(sen(C)

Despejamos  b de la ecuación y nos queda que:

b = (a*sen(B))/sen(A) ≈ (5*0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Ahora solo falta calcular el valor de c. Procedemos de forma análoga como en el caso anterior:

c = (a*sen(C))/sen(A) ≈ (5*0.984)/(0.5) ≈ 9.84

Así obtenemos todos los datos del triángulo. Como podemos notar, este triángulo entra en la categoría de triángulo acutángulo escaleno.

Ejemplo 2

Dado un triángulo DEF con lados d = 4cm, e = 5cm y f = 6cm, deseamos saber el valor de los ángulos de dicho triángulo.

Para este caso usaremos la ley del coseno, la cual nos dice que:

d²= e² + f² – 2efcos(D)

De esta ecuación podemos despejar cos(D), lo que nos da como resultado:

Cos(D)=((4)² – (5)² –(6)²)/(-2*5*6) =0.75

De aquí tenemos que D≈ 41.41°

Usando ahora el teorema del senom tenemos la siguiente ecuación:

d/(sen(D)= e/(sen(E)

Despejando sen(E), tenemos que:

sen(E)= e*sen(D)/d = (5*0.66)/4 ≈ 0.827

De aquí tenemos que E≈55.79°

Finalmente, usando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que F≈82.8°.