Integral indefinida: propiedades, aplicaciones, cálculo (ejemplos)

La integral indefinida es la operación inversa de la derivación y para denotarla se emplea el símbolo de la “s” alargada: ∫. Matemáticamente la integral indefinida de la función F(x) se escribe:

∫F(x) dx = f(x) + C

Donde el integrando F(x) = f´(x) es una función de la variable x, que es a su vez la derivada de otra función f(x), denominada la integral o la antiderivada.

A su vez la C es una constante que se conoce como constante de integración, la cual acompaña siempre el resultado de toda integral indefinida. Enseguida veremos su origen mediante un ejemplo.

Supongamos que nos piden encontrar la siguiente integral indefinida I:

I=∫x.dx

De inmediato se identifica a f´(x) con x. Significa que debemos proporcionar una función f(x) tal que su derivada sea x, algo que no es difícil:

f(x) = ½ x²

Sabemos que al derivar f(x) obtenemos a f´(x), lo comprobamos:

[ ½ x²]´ = 2. (½ x) = x

Ahora bien, la función: f(x) = ½ x² + 2 también satisface el requisito, ya que la derivación es lineal y la derivada de una constante es 0. Otras funciones que al ser derivadas  dan como resultado f(x) = son:

½ x² -1, ½ x² + 15; ½ x² – √2…

Y en general todas las funciones de la forma:

f(x) =½ x² + C

Son respuestas correctas para el problema.

Cualquiera de estas funciones se llama antiderivada o primitiva de  f´(x) = x y es precisamente a ese conjunto de todas las antiderivadas de una función lo que se conoce como integral indefinida.

Es suficiente conocer una sola de las primitivas, pues como se ve, la única diferencia entre ellas es la constante C de integración.

Si el problema contiene condiciones iniciales, es posible calcular el valor de C para que se adapte a ellas (véase el ejemplo resuelto más adelante).

Índice del artículo

• 1 Cómo calcular una integral indefinida
  • 1.1 – Ejemplo resuelto
• 2 Aplicaciones
  • 2.1 Movimiento
  • 2.2 Economía
• 3 Ejercicio de aplicación
  • 3.1 Solución
• 4 Referencias

Cómo calcular una integral indefinida

En el ejemplo anterior se calculó ∫x.dx porque se conocía una función f(x) que al ser derivada daba como resultado el integrando.

Por eso a partir de las funciones más conocidas y sus derivadas se pueden resolver rápidamente integrales básicas.

Además hay algunas propiedades importantes que amplían el abanico de posibilidades al resolver una integral. Sea k un número real, entonces se cumple que:

1.- ∫kdx = k ∫dx =kx + C

2.- ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx

3.- ∫h(x)dx = ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

4.- ∫xⁿ dx= [xⁿ⁺¹/n+1]  + C  (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 dx = ln x +C

Dependiendo del integrando, hay varios métodos de tipo algebraico así como numérico para resolver integrales. Aquí mencionamos:

-Cambio de variable

-Sustituciones algebraicas y trigonométricas.

-Integración por partes

-Descomposición en fracciones simples para integrando de tipo racional

-Uso de tablas

-Métodos numéricos.

Hay integrales que pueden resolverse por más de un método. Lamentablemente, no existe un criterio único para determinar a priori el método más efectivo para resolver una integral determinada.

De hecho, algunos métodos permiten llegar a la solución de determinadas integrales más rápidamente que otros. Pero lo cierto es que para adquirir destreza resolviendo integrales hay que practicar con cada método.

– Ejemplo resuelto

Resolver:

Hagamos un cambio de variable sencillo para la cantidad subradical:

u = x-3

Con:

x = u+3

Derivando a ambos lados en cualquiera de la dos expresiones se obtiene:

dx = du

Ahora sustituimos en la integral, la cual denotaremos como I:

I = ∫x √(x-3)dx = ∫(u+3) (√u )du = ∫(u+3) u^1/2 du

Aplicamos propiedad distributiva y multiplicación de potencias de igual base, y se obtiene:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Por la propiedad 3 de la sección anterior:

I =  ∫ u^3/2 du +  ∫ 3u^1/2 du

Ahora se aplica la propiedad 4, que se conoce como regla de las potencias:

Primera integral

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

=[u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Segunda integral

∫ 3u^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3[u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3(2/3) u^3/2  + C₂ = 2u^3/2  + C₂

Después se juntan los resultados en I:

I = (2/5) u^5/2  + 2u^3/2  + C

Las dos constantes se pueden reunir en una sola sin problemas. Por último no hay que olvidar regresar el cambio de variable que se hizo antes y expresar el resultado en términos de la variable original x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2(x-3)^3/2  + C

Es posible factorizar el resultado:

I = 2(x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3)  +1] + C = (2/5)(x-3) ^3/2 (x+2) + C

Aplicaciones

La integral indefinida se aplica a numerosos modelos en ciencias naturales y sociales, por ejemplo:

Movimiento

En la solución de problemas de movimiento, para calcular la velocidad de un móvil, conocida su aceleración y en el cálculo de la posición de un móvil, conocida su velocidad.

Economía

Al calcular los costos de producción de artículos y modelar una función de demanda, por ejemplo.

Ejercicio de aplicación

La velocidad mínima requerida por un objeto para escapar de la atracción gravitatoria terrestre viene dada por:

En esta expresión:

-v es la velocidad del objeto que quiere escapar de la Tierra

-y es la distancia medida desde el centro del planeta

-M es la masa terrestre

-G es constante de gravitación

Se pide encontrar la relación entre v y y, resolviendo las integrales indefinidas, si al objeto se le confiere una velocidad inicial v_o y el radio de la Tierra es conocido y se le llama R.

Solución

Se nos presentan dos integrales indefinidas para resolver mediante las reglas de integración:

I₁ = ∫v dv = v²/2 + C₁

I₂ = -GM ∫ (1/y²) dy = -GM ∫ y^-2 dy = -GM [y^-2+1/(-2+1)] + C₂ = GM. y^-1 + C₂

Igualamos I₁ e I₂:

v²/2 + C₁ = GM. y^-1 + C₂

Las dos constantes se pueden reunir en una sola:

Una vez resueltas las integrales, aplicamos las condiciones iniciales, que son las siguientes: cuando el objeto se encuentra en la superficie de la Tierra, está a una distancia R del centro de la misma. En el enunciado nos dicen que y es la distancia medida desde el centro de la Tierra.

Y justo estando en la superficie es que se le proporciona la velocidad inicial vo con la que va a escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Por lo tanto podemos establecer que v (R) = v_o. En ese caso, nada impide que sustituyamos esta condición en el resultado que acabamos de obtener:

Y dado que v_o es conocida, y también lo son G, M y R, podemos despejar el valor de la constante de integración C:

El cual podemos sustituir en el resultado de las integrales:

Y finalmente despejamos v², factorizando y agrupando adecuadamente:

Esta es la expresión que relaciona la rapidez v de un satélite que se ha disparado desde la superficie del planeta (de radio R) con rapidez inicial vo, cuando el mismo se encuentra a una distancia y del centro del planeta.

Referencias

1. Haeussler, E. 1992. Matemáticas para Administración y Economía. Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Hyperphysics. Velocidad de escape. Recuperado de: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Cálculo de una variable. 9na. Edición. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Cálculo con Geometría Analítica. 9na. Edición. Pearson Educación.
5. Wolfram MathWorld. Examples of integrals. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.