Regla de la palanca: qué es, explicación y ejercicios resueltos

¿Qué es la regla de la palanca?

La regla de la palanca es un procedimiento matemático que permite calcular las fracciones, porcentajes o cantidades de las fases presentes en equilibrio dentro de un sistema binario. No solo es matemático, sino además bastante gráfico y asertivo, siendo muy útil en cálculos fisicoquímicos y de ingeniería.

Esta regla se aplica sobre los diagramas de fase para los sistemas binarios, sin importar el tipo de sistema en sí mismo. Es decir, que las fases pueden ser sólidas, como sucede con las aleaciones; o líquidas y gaseosas, como vemos en sistemas en equilibrio líquido-vapor.

Se puede aplicar directamente la regla de la palanca teniendo en consideración los valores graficados en el eje de las abscisas, donde por lo general van las fracciones o porcentajes globales del componente más volátil, en el caso de los líquidos; o refractario, en el caso de los metales en sus aleaciones.

Como se verá a continuación, su nombre se debe a la inmensa similitud que tiene con las expresiones matemáticas que demuestran el equilibrio entre dos masas situadas en los extremos de un balancín con fulcro.

Los brazos de la palanca deben balancearse para equilibrar las masas de las cargas; en el caso de los diagramas de fase, las fracciones y los moles de las fases en equilibrio material.

Explicación

Aspectos gráficos

En el medio del diagrama de arriba tenemos una región donde coexisten el líquido y vapor; es decir, la región del equilibrio líquido-vapor. Arriba de esta región la mezcla de A y B será líquida, y debajo será gaseosa a causa de las menores presiones.

Ahora, considérese una mezcla con una composición X_B y cuya presión la posiciona en el punto D. Trazamos desde el punto D una línea horizontal que toca la recta y la curva a los lados, originando los puntos C y E, respectivamente. Esta línea, que comunica los puntos C, D y E, C-D-E, es la que se conoce como línea de unión, y al proyectarla hacia el eje Y debe darnos la presión del sistema.

Luego, desde estos puntos trazamos otras líneas perpendiculares a la línea de unión, las cuales tocarán el eje X. Como el punto E descansa sobre la curva de vapor, entonces tendremos la fracción molar de B en la fase de vapor (X_B^V). Igualmente, el punto C, sobre la línea recta de líquido, nos dará la fracción molar de B en la fase líquida (X_B^L).

La regla de la palanca se sustenta precisamente sobre la línea de unión, y las distancias entre X_B^L, X_B y X_B^V.

Deducción matemática

La fracción molar global de B es igual a:

X_B = n_B / (n^L + n^V)

Donde n_B son los moles totales de B tanto en la fase líquida como la de vapor, y n^L y n^V son los moles respectivos para dichas fases. Despejando n_B tendremos:

n_B = X_Bn^L + X_Bn^V (1)

Por otro lado, n_B también es igual a:

n_B = n_B^L + n_B^V

= X_B^Ln^L + X_B^Vn^V  (2)

Igualando ahora las ecuaciones (1) y (2) nos dará:

X_Bn^L + X_Bn^V = X_B^Ln^L + X_B^Vn^V

Y reordenando:

n^L(X_B – X_B^L) = n^V(X_B^V – X_B) (3)

n^L(C-D) = n^V(D-E)

Estas últimas dos expresiones matemáticas son la regla de la palanca. Nótese que X_B – X_B^L es la distancia entre los puntos C y D; y X_B^V – X_B, es la distancia entre los puntos D-E: las dos mitades de la línea de unión (brazos de la palanca).

Esta ecuación es muy parecida a la que describe el equilibrio de las masas sobre un balancín con fulcro:

m₁l₁ = m₂l₂

Así, la regla de la palanca nos permitirá calcular los moles totales n^L y n^V siempre que se conozcan los moles totales de la mezcla, n_T (n_T = n^L + n^V).

Segunda forma

La expresión anterior para la regla de la palanca sirve para calcular de una vez las cantidades (masas, moles, etc.) de las fases en equilibrio. Sin embargo, la versión más conocida de la regla de la palanca nos permite calcular las fracciones o porcentajes de cada fase, tomando únicamente las distancias entre X_B, X_B^L y X_B^V.

Considérese el mismo sistema de arriba, teniendo abajo otra forma de la regla de la palanca:

Donde f ^L y f ^Vson las fracciones molares (o porcentuales, dependiendo de la gráfica) de las fases líquida y vapor, respectivamente. Nótese que, evidentemente, f ^L y f ^V no tienen unidades; mientras que n^L y n^V sí tienen unidades (moles, gramos, etc.).

Ejemplos

Método 1

En un recipiente se mezclan 28 moles de B y 12 moles de A. Determine las cantidades y las fracciones molares para las fases que se forman.

Calculamos X_B:

X_B = (28 moles B )/ (28 moles B + 12 moles A)

= 0.7

Este valor corresponde al X_B del diagrama de arriba. Las intercepciones nos darán, aproximadamente, los siguientes valores para X_B^L y X_B^V:

X_B^L = 0.41

X_B^V = 0.94

Con la regla de la palanca:

n^L(X_B – X_B^L) = n^V(X_B^V – X_B)

Y sabiendo que n_T = n^L + n^V, y que n_T = 40 moles, entonces despejamos n^L o n^V en función del otro:

n^L(X_B – X_B^L) = (40 moles – n^L)(X_B^V – X_B)

Reordenando y despejando n^L tendremos:

n^L = (40 moles) (X_B^V – X_B) / (X_B^V – X_B^L)

¿Esta expresión no recuerda acaso a la de f ^L? Ahora sustituyendo tendremos:

n^L = (40 moles) (0.94 – 0.70) / (0.94 – 0.41)

= 18.11 moles en fase líquida

Podemos calcular n^V de dos maneras:

n^V = n^L(X_B – X_B^L) / (X_B^V – X_B)

o

n^V = 40 moles – 18.11 moles

= 21.89 moles en fase vapor

Método 2

¿Y si calculamos primero f ^L y f ^V?

f ^L = (X_B^V – X_B) / (X_B^V – X_B^L)

= (0.94 – 0.70) / (0.94 – 0.41)

= 0.4528 o 45.28%

Es decir, 45.2% de los moles están en fase líquida, siendo esa cantidad igual a:

n^L = f ^Ln_T

= (0.4528) (40 moles)

= 18.11 moles

Y f ^V podemos calcularlo igualmente de dos maneras:

f ^V = 1 – f ^L

o

f ^V = (X_B – X_B^L) / (X_B^V – X_B^L)

Siendo su valor:

f ^V = 0.5472 o 54.72%

Y por lo tanto, n^V será igual a:

n^V = f ^Vn_T

= (0.5472) (40 moles)

=21.89 moles

Nótese que aplicando las dos formas de la regla de la palanca como métodos alternativos de cálculo, puede llegarse a los mismos resultados. El método 2 parece más directo y sencillo; pero si se observa con detenimiento, una vez resuelto el despeje para n^L o n^V, se verá que ambos métodos son en realidad igual de fáciles.

Ejercicios resueltos

A continuación se resolverán otros dos ejercicios, donde ahora los sistemas considerados involucrarán un equilibrio líquido-sólido y no líquido-vapor. Asimismo, los diagramas están graficados respecto a la temperatura del sistema y no su presión.

Ejercicio 1

Tenemos arriba el diagrama de fases para una aleación entre tántalo y tungsteno, Ta-W. En el eje X se representan los porcentajes globales másicos de tungsteno, W% (m/m).

Dentro de la región de equilibrio líquido (Ta+W) y sólido (aleación) se tiene una mezcla a 3200 ºC. Determine las masas de cada fase asumiendo que se calentó 100 gramos de la aleación.

Procedimiento

Esta vez se procederá a resolver el ejercicio utilizando la segunda forma de la regla de la palanca. La línea de unión nos dice que: en la fase sólida tenemos 63% de tungsteno, mientras que en la fase líquida tenemos 37% de tungsteno. Esto se debe a que el tungsteno funde a una mayor temperatura (3422 ºC) que el tántalo (3020 ºC).

Entonces tenemos:

W%^S o W_S= 63%

W%^L o W_L= 37%

Y además:

W₀ = 50.1%

Aplicamos la regla de la palanca para f ^L:

f ^L = (63% – 50.1%) / (63% – 37%)

= 0.4961 o 49.61%

Nótese que la distancia correspondiente a la fase líquida es el brazo de la palanca cercano a la fase sólida, el lado opuesto del punto del medio.

La masa de la fase líquida viene a ser por lo tanto:

(0.4961) (100 gramos) = 49.61 gramos fundidos

Y la fase sólida será igual a:

100 gramos – 49.61 gramos = 50.39 gramos de aleación rica en tungsteno

Ejercicio 2

Para la aleación de titanio y níquel a 800 ºC, y con 70% de níquel, determine cuánto de TiNi y TiNi₃ están presentes.

Procedimiento

Esta vez solo nos piden las fracciones másicas de cada fase. El punto rojo se encuentra en la región de equilibrio entre las fases TiNi y TiNi₃, cuyas curvas es donde toca la línea de unión que desemboca a los valores de 58% Ni para la fase TiNi, y 77% Ni para la fase TiNi₃.

Nótese asimismo que el punto rojo está más cerca de la fase TiNi₃ que de la fase TiNi. Esto significa que debe haber más TiNi₃ que TiNi; y que por lo tanto, la distancia o el brazo de la palanca que corresponde a TiNi₃ debe ser el más largo, el opuesto (70%-58%).

Sabiendo esto, se procede a calcular f ^TiNi3:

f ^TiNi3 = (70% – 58%) / (77% – 58%)

= 0.6316 o 63.16%

Efectivamente, el 63.16% de la aleación corresponde a la fase TiNi₃. Mientras, la fase TiNi corresponde a:

1 = f ^TiNi3 + f ^TiNi

f ^TiNi = 1 – f ^TiNi3

= 0.3684 o 36.84%

En conclusión a los ejercicios planteados, podemos decir que la regla de la palanca es de mucha ayuda para determinar las fracciones de cada fase en equilibrio para un sistema de dos componentes.

Referencias

1. Walter J. Moore. (1963). Physical Chemistry. In Chemical kinetics. Fourth edition, Longmans.
2. Ira N. Levine. (2009). Principios de fisicoquímica. Sexta edición. Mc Graw Hill.
3. Wikipedia. (2020). Lever rule. Recuperado de: en.wikipedia.org
4. Michael Adewumi. (18 de mayo de 2020). The Lever Rule. Recuperado de: eng.libretexts.org
5. Adam Warren. (1997). Phase Diagrams: Tie Lines and the Lever Rule. Recuperado de: southampton.ac.uk
6. University of Cambridge. (2020). The lever rule. Recuperado de: doitpoms.ac.uk