¿Qué es el razonamiento algebraico? (Con ejercicios resueltos)
¿Qué es el razonamiento algebraico?
El razonamiento algebraico esencialmente consiste es comunicar un argumento matemático a través de un lenguaje especial, que lo hace más riguroso y general, haciendo uso de variables algebraicas y operaciones definidas entre sí. Una característica de la matemática es el rigor lógico y la tendencia abstracta usada en sus argumentos.
Para esto es necesario conocer la “gramática” correcta que se debe emplear en esta escritura. Además, el razonamiento algebraico evita ambigüedades en la justificación de un argumento matemático, lo cual es esencial para demostrar cualquier resultado en matemáticas.
Variables algebraicas
Una variable algebraica es simplemente una variable (una letra o símbolo) que representa determinado objeto matemático.
Por ejemplo, las letras x, y, z, se suelen usar para representar los números que satisfacen una ecuación dada; las letras p, q r, para representar fórmulas proposicionales (o sus respectivas mayúsculas para representar proposiciones específicas); y las letras A, B, X, etc., para representar conjuntos.
El término “variable” hace énfasis en que el objeto en cuestión no está fijo, sino que varía. Tal es el caso de una ecuación, en la que se usan variables para determinar las soluciones que en principio son desconocidas.
En términos generales una variable algebraica se puede considerar como una letra que representa algún objeto, sea fijo o no.
Así como las variables algebraicas son usadas para representar objetos matemáticos, también podemos considerar símbolos para representar operaciones matemáticas.
Por ejemplo, el símbolo “+” representa la operación “suma”. Otros ejemplos son las diferentes notaciones simbólicas de los conectivos lógicos en el caso de proposiciones y conjuntos.
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de variables algebraicas por medio de operaciones previamente definidas. Ejemplos de esto son las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre números, o los conectivos lógicos en las proposiciones y conjuntos.
El razonamiento algebraico se encarga de expresar un razonamiento o argumento matemático por medio de expresiones algebraicas.
Esta forma de expresión ayuda a simplificar y abreviar la escritura, ya que hace uso de notaciones simbólicas y permite entender mejor el razonamiento, presentándolo de una manera más clara y precisa.
Ejemplos
Veamos algunos ejemplos que muestran cómo se emplea el razonamiento algebraico. Con mucha regularidad es empleado para resolver problemas de lógica y razonamiento, como veremos en breve.
Consideremos la conocida proposición matemática “la suma de dos números es conmutativa”. Veamos cómo podemos expresar esta proposición de forma algebraica: dados dos números “a” y “b”, lo que quiere decir esta proposición es que a+b=b+a.
El razonamiento usado para interpretar la proposición inicial y expresarla en términos algebraicos es un razonamiento algebraico.
También podríamos hacer mención a la famosa expresión “el orden de los factores no altera el producto”, la cual se refiere a que el producto de dos números también es conmutativo, y algebraicamente se expresa como axb=bxa.
Análogamente se pueden expresar (y de hecho se expresan) de manera algebraica las propiedades asociativa y distributiva para la suma y el producto, en las cuales están incluidas la resta y la división.
Este tipo de razonamiento abarca un lenguaje muy amplio y es usado en múltiples y diferentes contextos. Dependiendo de cada caso, en estos contextos hay que reconocer patrones, interpretar enunciados y generalizar y formalizar su expresión en términos algebraicos, proporcionando un razonamiento válido y secuencial.
Ejercicios resueltos
Los siguientes son algunos problemas de lógica, los cuales resolveremos usando un razonamiento algebraico:
Primer ejercicio
¿Cuál es el número que, al quitarle la mitad, queda igual a uno?
Solución
Para resolver este tipo de ejercicios es muy útil representar el valor que queremos determinar por medio de una variable. En este caso queremos hallar un número que al quitarle la mitad, dé como resultado el número uno. Denotemos por x el número buscado.
“Quitarle la mitad” a un número implica dividirlo entre 2. Así que lo anterior puede expresarse algebraicamente como x/2=1, y el problema se reduce a resolver una ecuación, que en este caso es lineal y muy sencilla de resolver. Despejando x obtenemos que la solución es x=2.
En conclusión, 2 es el número que al quitarle la mitad queda igual a 1.
Segundo ejercicio
¿Cuántos minutos faltan para la media noche si hace 10 minutos faltaban 5/3 de lo que falta ahora?
Solución
Denotemos por “z” la cantidad de minutos que faltan para la media noche (se puede usar cualquier otra letra). Es decir que justo ahora faltan “z” minutos para la media noche. Esto implica que hace 10 minutos faltaban “z+10” minutos para la media noche, y esto corresponde a 5/3 de lo que falta ahora; es decir, (5/3)z.
Luego, el problema se reduce a resolver la ecuación z+10=(5/3)z. Multiplicando ambos lados de la igualdad por 3, se obtiene la ecuación 3z+30=5z.
Ahora, al agrupar la variable “z” de un lado de la igualdad se obtiene que 2z=15, lo cual implica que z=15.
Por lo tanto, faltan 15 minutos para la media noche.
Tercer ejercicio
En una tribu que practican el trueque, existen estas equivalencias:
– Una lanza y un collar se intercambian por un escudo.
– Una lanza es equivalente a un cuchillo y un collar.
– Dos escudos se intercambian por tres unidades de cuchillos.
¿A cuántos collares es equivalente una lanza?
Solución
Sean:
Co = un collar
L = una lanza
E = un escudo
Cu = un cuchillo
Entonces tenemos las siguientes relaciones:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3Cu
De modo que el problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. A pesar de tener más incógnitas que ecuaciones, este sistema se puede resolver, ya que no nos piden una solución específica sino una de las variables en función de otra. Lo que debemos hacer es expresar “Co” en función de “L” exclusivamente.
De la segunda ecuación se tiene que Cu = L – Co. Sustituyendo en la tercera se obtiene que E = (3L – 3Co)/2. Finalmente, sustituyendo en la primera ecuación y simplificando se obtiene que 5Co = L; es decir, que una lanza equivale a cinco collares.