Serie de potencias: ejemplos y ejercicios

Una serie de potencias consiste en una sumatoria de términos en forma de potencias de la variable x, o más generalmente, de x-c, donde c es número real constante. En la notación de sumatoria una serie de potencias se expresa de la siguiente forma:

∑a_n (x -c)ⁿ = a_o + a₁ (x – c) + a₂ (x – c)² + a₃ (x – c)³ + …+ a_n (x – c)ⁿ

Donde los coeficientes a_o, a₁, a₂ … son números reales y la serie comienza en n = 0.

Esta serie está centrada en el valor c que es constante, pero se puede elegir que c sea igual a 0, en cuyo caso la serie de potencias se simplifica a:

∑a_n xⁿ = a_o + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³ + …+ a_n xⁿ

Las series comienzan con a_o(x-c)⁰ y a_ox⁰ respectivamente. Pero sabemos que:

(x-c)⁰=x⁰ = 1

Por lo tanto a_o(x-c)⁰ = a_ox⁰ = a_o (término independiente)

Lo bueno de las series de potencias es que con ellas se pueden expresar funciones y esto tiene muchas ventajas, sobre todo si se quiere trabajar con una función complicada.

Cuando este es el caso, en vez de usar directamente la función, se utiliza su desarrollo en serie de potencias, que puede ser más fácil de derivar, integrar, o trabajar numéricamente.

Desde luego todo queda condicionado a la convergencia de la serie. Una serie converge cuando al sumar cierta cantidad grande de términos se obtiene un valor fijo. Y si sumamos más términos todavía, seguimos obteniendo ese valor.

Índice del artículo

• 1 Funciones como series de potencias
  • 1.1 Series geométricas de potencias
• 2 Cómo encontrar el desarrollo en serie de potencias de una función
• 3 Ejercicio
  • 3.1 – Ejercicio resuelto 1
  • 3.2 – Ejercicio resuelto 2
• 4 Referencias

Funciones como series de potencias

Como ejemplo de función expresada como una serie de potencia tomemos f(x) = e^x.

Esta función se puede expresar en términos de una serie de potencias como sigue:

e^x  ≈ 1 + x + (x² / 2!)  + (x³ / 3!) + (x⁴ / 4!) + (x⁵ / 5!) + …

Donde n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… y se toma 0! = 1.

Vamos a comprobar con la ayuda de una calculadora, que efectivamente la serie coincide con la función dada en forma explícita. Por ejemplo comencemos haciendo x = 0.

Sabemos que e⁰ = 1. Veamos lo que hace la serie:

e⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!)  + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) + … = 1

Y ahora probemos con x = 1. Una calculadora arroja que e¹ = 2.71828, y seguidamente comparemos con la serie:

e¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!)  + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 + … ≈ 2.7167

Con tan solo 5 términos ya tenemos coincidencia exacta en e ≈ 2.71. A nuestra serie le falta apenas un poco más, pero conforme se vayan sumando más términos, con toda certeza la serie converge al valor exacto de e. La representación es exacta cuando n → ∞.

Si se repite el análisis anterior para n = 2 se obtienen resultados muy parecidos.

De este modo estamos seguros de que la función exponencial f(x) = e^x se puede representar mediante esta serie de potencias:

Series geométricas de potencias

La función f(x) = e^xno es la única función que admite una representación en serie de potencias. Por ejemplo, la función  f(x) =1 / 1 – x  se parece mucho a la conocida serie geométrica convergente:

∑a.rⁿ = a / 1 – r

Basta con hacer a =1 y r = x para obtener una serie adecuada a esta función, que está centrada en c = 0:

Sin embargo, se sabe que esta serie es convergente para │r│1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Cuando se quiere definir esta función en otro intervalo, simplemente se centra en un valor adecuado y listo.

Cómo encontrar el desarrollo en serie de potencias de una función

Una función cualquiera se puede desarrollar en una serie de potencias centrada en  c, siempre y cuando tenga derivadas de todos los órdenes en x = c. El procedimiento hace uso del siguiente teorema, llamado teorema de Taylor:

Sea f(x) una función con derivadas de orden n, denotadas como f⁽ⁿ⁾, la cual admite un desarrollo en serie de potencias en el intervalo I. Su desarrollo en serie de Taylor es:

De manera que:

f(x) = f(c) + f´(c) (x-c) + f´´(c) (x-c)² /2 + f´´´(c) (x-c)³ /6 +…R_n

Donde R_n, que es el término enésimo de la serie, recibe el nombre de residuo:

Cuando c = 0 la serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

Esta serie dada aquí es idéntica a la serie dada al comienzo, solo que ahora  se tiene una forma de hallar explícitamente los coeficientes de cada término, dados por:

No obstante, hay que asegurar que la serie converja a la función que se quiere representar. Sucede que no toda serie de Taylor necesariamente converge a la f(x) que se tenía en mente al calcular los coeficientes a_n.

Esto pasa porque tal vez las derivadas de la función, evaluadas en x =c coinciden con el mismo valor de las derivadas de otra, también en x = c. En tal caso los coeficientes serían los mismos, pero el desarrollo sería ambiguo al no tener la certeza de a cuál función corresponde.

Por fortuna hay un modo de saber:

Criterio de convergencia

Para evitar la ambigüedad, si R_n → 0 cuando n → ∞ para todo x en el intervalo I, la serie converge a f(x).

Ejercicio

– Ejercicio resuelto 1

Hallar la serie geométrica de potencias para la función f(x) = 1 /2 – x centrada en c = 0.

Solución

Hay que expresar la función dada de forma que coincida lo más que sea posible con 1 / 1- x, cuya serie se conoce. Por lo tanto reescribamos numerador y denominador, sin alterar la expresión original:

1 / 2 – x = (1/2) / [1 – (x/2)]

Como ½ es constante sale fuera de la sumatoria, y esta se escribe en términos de la nueva variable x/2:

Nótese que x = 2 no pertenece al dominio de la función, y de acuerdo al criterio de convergencia dado en la sección Series geométricas de potencia, el desarrollo es válido para │x/2│ 1 o equivalentemente -2 x 2.

– Ejercicio resuelto 2

Hallar los 5 primeros términos del desarrollo en serie de Maclaurin de la función f(x) = sen x.

Solución

Paso 1

Primero se hallan las derivadas:

-Derivada de orden 0: es la misma función f(x) = sen x

-Primera derivada: (sen x)´ = cos x

-Segunda derivada: (sen x)´´ = (cos x)´ = – sen x

-Tercera derivada: (sen x)´´´ = (-sen x)´ = – cos x

-Cuarta derivada: (sen x)´´´´ = (- cos x)´ = sen x

Paso 2

Luego se evalúa cada derivada en x = c, como es un desarrollo de Maclaurin, c = 0:

sen 0 = 0 ; cos 0 = 1; – sen 0 = 0; -cos 0 = -1; sen 0 = 0

Paso 3

Se construyen los coeficientes a_n;

a_o = 0 / 0! = 0; a₁ = 1 / 1! = 1 ; a₂ = 0 / 2! = 0; a₃ = -1 / 3!; a₄ = 0 / 4! = 0

Paso 4

Finalmente se arma la serie según:

sen x ≈ 0.x⁰ + 1. x¹ + 0 .x² – (1/3!)x³ + 0.x⁴… = x – (1/3!))x³  + …

¿El lector necesita más términos? Cuántos más, la serie se acerca más a la función.

Nótese que hay un patrón en los coeficientes, el siguiente término no nulo es a₅ y todos los de índice impar también son diferentes de 0, alternando los signos, de manera que:

sen x ≈  x – (1/3!))x³  + (1/5!))x⁵ – (1/7!))x⁷  + ….

Se deja como ejercicio comprobar que converge, se puede usar el criterio del cociente para la convergencia de series.

Referencias

1. CK-12 Foundation. Series de Potencias: representación de funciones y operaciones. Recuperado de: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Cálculo Integral. Universidad Nacional del Litoral.
3. Larson, R. 2010. Cálculo de una variable. 9na. Edición. McGraw Hill.
4. Mathematics Libre Texts. Power series. Recuperado de: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Series de potencia. Recuperado de: es.wikipedia.org.