Técnicas de conteo: técnicas, aplicaciones, ejemplos, ejercicios
Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.
Por ejemplo, es muy sencillo la solución a este problema: imagínate que tu jefe te pide que cuentes los últimos productos que han llegado en la última hora. En este caso podrías ir y contar uno a uno los productos.
Sin embargo, imagina que el problema es este: tu jefe te pide que cuentes cuántos grupos de 5 productos del mismo tipo pueden formarse con los que han llegado la última hora. En este caso, el cálculo se complica. Para este tipo de situaciones se utilizan las llamadas técnicas de conteo.
Estas técnicas son varias, pero las más importantes se dividen en dos principios básicos, que son el multiplicativo y el aditivo; las permutaciones y las combinaciones.
Índice del artículo
- 1 Principio multiplicativo
- 2 Principio aditivo
- 3 Permutaciones
- 4 Combinaciones
- 5 Ejercicios resueltos
- 6 Referencias
El principio multiplicativo, junto con el aditivo, son básicos para entender el funcionamiento de las técnicas de conteo. En el caso del multiplicativo, consiste en lo siguiente:
Imaginemos una actividad que conlleva un número concreto de pasos (el total lo marcamos como “r”), donde el primer paso puede hacerse de N1 formas, el segundo paso de N2, y el paso “r” de Nr formas. En este caso, la actividad podría realizarse del número de formas resultante de esta operación: N1 x N2 x……….x Nr formas
Es por ello que este principio se llama multiplicativo, e implica que todos y cada uno de los pasos que se necesitan para llevar a cabo la actividad deben de realizarse uno tras otro.
Vamos a imaginar a una persona que quiere construir un colegio. Para ello, considera que la base del edificio puede construirse de dos maneras distintas, cemento o concreto. En cuanto a las paredes, pueden ser de adobe, cemento o ladrillo.
En cuanto al techo, este puede construirse de cemento o lámina galvanizada. Finalmente, la pintura final sólo puede realizarse de una forma. La pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuántas formas tiene de construir el colegio?
En primer lugar, consideramos el número de pasos, que serían la base, las paredes, el tejado y la pintura. En total, 4 pasos, por lo que r=4.
Lo siguiente sería enumerar las N:
N1= formas de construir la base=2
N2= formas de construir las paredes=3
N3= formas de hacer el tejado = 2
N4= formas de realizar pintura = 1
Por lo tanto, el número de formas posibles se calcularía mediante la fórmula antes descrita:
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 formas de realizar el colegio.
Este principio es muy simple, y consiste en que, en el caso de existir varias alternativas de realizar una misma actividad, las formas posibles consisten en la suma de las distintas formas posibles de realizar todas las alternativas.
Dicho de otra forma, si queremos realizar una actividad con tres alternativas, donde la primera alternativa puede realizarse de M formas, la segunda de N formas y la última de W formas, la actividad puede realizarse de: M + N +………+ W formas.
Imaginemos esta vez a una persona que quiere comprar una raqueta de tenis. Para ello, tiene tres marcas a elegir: Wilson, Babolat o Head.
Cuando va a la tienda ve que la raqueta Wilson puede comprarse con el mango de dos tamaños distintos, L2 o L3 en cuatro modelos distintos y puede ser encordada o sin encordar.
La raqueta Babolat, en cambio, tiene tres mangos (L1, L2 y L3), hay dos modelos diferentes y puede también ser encordada o sin encordar.
La raqueta Head, por su parte, solo está con un mango, el L2, en dos modelos diferentes y solo sin encordar. La pregunta es: ¿Cuántas formas tiene esta persona de comprar su raqueta?
M = Número de formas de seleccionar una raqueta Wilson
N = Número de formas de seleccionar una raqueta Babolat
W = Número de formas de seleccionar una raqueta Head
Realizamos el principio multiplicador:
M = 2 x 4 x 2 = 16 formas
N = 3 x 2 x 2 = 12 formas
W = 1 x 2 x 1 = 2 formas
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 formas de elegir una raqueta.
Para saber en qué momento hay que utilizar el principio multiplicativo y el aditivo, únicamente hay que fijarse en si la actividad tiene una serie de pasos para realizarse, y si existen varias alternativas, el aditivo.
Para comprender qué es una permutación, es importante explicar qué es una combinación para poder diferenciarlas y saber cuándo utilizarlas.
Una combinación sería un arreglo de elementos en los cuales no nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.
Una permutación, en cambio, sería un arreglo de elementos en los cuales sí nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.
Vamos a poner un ejemplo para entender mejor la diferencia.
Imaginemos una clase con 35 alumnos, y con las siguientes situaciones:
- El profesor quiere que tres de sus alumnos le ayuden a mantener la clase limpia o entregar materiales a los otros alumnos cuando lo necesite.
- El profesor quiere nombrar a los delegados de clase (un presidente, un asistente y un financiero).
La solución sería la siguiente:
- Imaginemos que por votación se elige a Juan, María y Lucía para limpiar la clase o entregar los materiales. Obviamente, podrían haberse formado otros grupos de tres personas, entre los 35 alumnos posibles.
Debemos preguntarnos lo siguiente: ¿es importante el orden o la posición que ocupa cada uno de los alumnos a la hora de seleccionarlos?
Si lo pensamos, vemos que realmente no es importante, ya que el grupo va a encargarse de las dos labores por igual. En este caso, se trata de una combinación, ya que no nos interesa la posición de los elementos.
- Ahora imaginemos que se eligen a Juan como presidente, a María como asistente y a Lucía como financiera.
En este caso, ¿importaría el orden? La respuesta es sí, ya que si cambiamos los elementos, cambia el resultado. Es decir, si en vez de poner a Juan como presidente, le ponemos como asistente, y a María como presidente, el resultado final cambiaría. En este caso se trata de una permutación.
Una vez comprendida la diferencia, vamos a obtener las fórmulas de las permutaciones y de las combinaciones. Sin embargo, antes hay que definir el término “n!” (ene factorial), ya que se utilizará en las distintas fórmulas.
n!= al producto desde 1 hasta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x n
Utilizándolo con números reales:
10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800
5!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x 5=120
La fórmula de las permutaciones sería la siguiente:
nPr=n!/(n-r)!
Con ella podremos averiguar los arreglos donde el orden es importante, y donde los n elementos son distintos.
Como hemos comentado anteriormente, las combinaciones son los arreglos en donde no nos importa el la posición de los elementos.
Su fórmula es la siguiente:
nCr=n!/(n-r)!r!
Si existen 14 alumnos que quieren ser voluntarios para limpiar el aula, ¿cuántos grupos de limpieza podrán formarse si cada grupo ha de ser de 5 personas?
La solución, por tanto, sería la siguiente:
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupos
A Natalia le encarga su madre que vaya a una tienda de alimentación y que le compre un refresco para refrescarse. Cuando Natalia le pide la bebida al dependiente, este le indica que existen cuatro sabores de refrescos, de tres tipos y de tres tamaños.
Los sabores de los refrescos pueden ser: cola, limón, naranja y menta.
Los tipos de refrescos de cola pueden ser: normal, sin azúcar, sin cafeína.
Los tamaños pueden ser: pequeño, mediano y grande.
La madre de Natalia no especificó que tipo de refresco quería ¿Cuántas formas tiene Natalia de comprar la bebida?
Solución
M = Número de tamaño y tipo que puede seleccionar a la hora de elegir el refresco de cola.
N = Número de tamaño y tipo que puede seleccionar a la hora de elegir el refresco de limón.
W = Número de tamaño y tipo que puede seleccionar a la hora de elegir el refresco de naranja.
Y = Número de tamaño y tipo que puede seleccionar a la hora de elegir el refresco de menta.
Realizamos el principio multiplicador:
M = 3×3 = 9 formas
N = 3×3 = 9 formas
W = 3×3 = 9 formas
Y = 3×3 = 9 formas
M + N + W + Y= 9 + 9 + 9 + 9 = 36 formas de seleccionar el refresco.
Un club deportivo anuncia unos talleres de acceso libre para que los niños aprendan a patinar. Se inscriben 20 niños, por lo que deciden dividirlos dos grupos de diez personas para que los instructores puedan dar las clases de manera más cómoda.
A su vez, deciden que sortearan en qué grupo caerá cada niño. En cuantos grupos distintos podría ingresar un niño.
Solución
En este caso, la manera de encontrar una respuesta es mediante la técnica de combinación, cuya fórmula era: nCr=n!/(n-r)!r!
n = 20 (número de niños)
r = 10 (tamaño de grupo)
20C10 = 20! / (20 – 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 grupos.
- Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
- William Feller, “An Introduction to Probability Theory and Its Applications“, (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
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