Eventos complementarios: en qué consisten y ejemplos
Los eventos complementarios se definen como todo grupo de eventos mutuamente excluyentes entre sí, donde la unión de ellos es capaz de cubrir enteramente el espacio muestral o casos posibles de una experimentación (son exhaustivos).
Su intersección da como resultado el conjunto vacío (∅). La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Es decir que 2 eventos con esta característica, abarcan por completo la posibilidad de sucesos de un experimento.
Índice del artículo
- 1 ¿En qué consisten los eventos complementarios?
- 2 ¿Qué son los eventos?
- 3 ¿Qué es un complemento?
- 4 Ejemplos de eventos complementarios
- 5 Ejercicios de eventos complementarios
- 6 Referencias
Un caso genérico muy útil para comprender este tipo de eventos es lanzar un dado:
Al definir el espacio muestral se nombran todos los posibles casos que el experimento ofrece. A este conjunto se le conoce como universo.
Espacio muestral (S):
S : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Las opciones no estipuladas en el espacio muestral, no forman parte de las posibilidades del experimento. Por ejemplo {que salga el número siete} Tiene una probabilidad de cero.
Según el objetivo de la experimentación, se definen conjuntos y subconjuntos de ser necesario. La notación de conjunto a utilizar también se determina según el objetivo o parámetro a estudiar:
A : {Salga un número par} = { 2 , 4 , 6 }
B : {Salga un número impar} = { 1 , 3 , 5 }
En este caso A y B son Eventos Complementarios. Debido a que ambos conjuntos son mutuamente excluyentes (No puede salir un número par que sea impar a su vez) y la unión de dichos conjuntos abarca la totalidad del espacio muestral.
Otros sub conjuntos posibles en el ejemplo anterior son:
C : {Salga un número primo} = { 2 , 3 , 5 }
D : { x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3 } = { 4 , 5 , 6 }
Los conjuntos A, B y C están escritos en notación Descriptiva y Analítica respectivamente. Para el conjunto D se utilizó notación algebraica, describiéndose luego los posibles resultados correspondientes al experimento en notación Analítica.
Se observa en el primer ejemplo que al ser A y B eventos complementarios
A : {Salga un número par} = { 2 , 4 , 6 }
B : {Salga un número impar} = { 1 , 3 , 5 }
Se cumplen los siguientes axiomas:
- A U B = S ; La unión de dos eventos complementarios es igual al espacio muestral
- A ∩B = ∅; La intersección de dos eventos complementarios es igual al conjunto vacío
- A’ = B ᴧ B’ = A ; Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo
- A’ ∩ A = B’ ∩ B = ∅ ; Intersectar un conjunto con su complemento es igual a vacío
- A’ U A = B’ U B = S ; Unir un conjunto con su complemento es igual al espacio muestral
En la estadística y estudios probabilísticos, los eventos complementarios forman parte de la teoría de conjunto, siendo muy comunes entre las operaciones que en esta área se realizan.
Para conocer más a fondo los eventos complementarios, es necesario entender ciertos términos que ayudan a definirlos conceptualmente.
Son posibilidades y sucesos resultantes de una experimentación, capaces de ofrecer resultados en cada una de sus iteraciones. Los eventos generan los datos a registrar como elementos de conjuntos y sub conjuntos, las tendencias en estos datos son motivo de estudio para la probabilidad.
Son ejemplos de eventos:
- La moneda señaló cara
- El partido resulto en empate
- El químico reaccionó en 1.73 segundos
- La velocidad en el punto máximo fue de 30 m/s
- El dado marco el número 4
Con respecto a la teoría de conjuntos. Un Complemento se refiere a la porción de espacio muestral, que necesita adicionarse a un conjunto para que este abarque su universo. Es todo lo que no forma parte del conjunto.
Una forma muy conocida para denotar al complemento en la teoría de conjuntos es:
A’ Complemento de A
Diagrama de Venn
Es un esquema gráfico – analítico de contenido, muy utilizado en las operaciones matemáticas que involucran conjuntos, sub-conjuntos y elementos. Cada conjunto es representado por una letra mayúscula y una figura ovalada (esta característica no es obligatoria dentro de su uso) que contiene a todos y cada uno de sus elementos.
Los eventos complementarios se aprecian directamente en los diagramas de Venn, ya que su método grafico permite identificar los complementos correspondientes a cada conjunto.
Simplemente visualizar por completo el entorno de un conjunto, omitiendo su frontera y estructura interna, permite dar una definición al complemento del conjunto estudiado.
Son ejemplos de eventos complementarios el éxito y la derrota en un suceso donde no puede existir la igualdad (Un juego de béisbol).
Las variables booleanas son eventos complementarios: Verdadero o falso, de igual manera correcto o incorrecto, cerrado o abierto, encendido o apagado.
Sea S el conjunto universo definido por todos los números naturales menores o iguales a diez.
S : { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
Se definen los siguientes subconjuntos de S
H : { Números naturales menores a cuatro } = { 0 , 1 , 2 , 3 }
J : { Múltiplos de tres } = { 3, 6, 9 }
K : { Múltiplos de cinco } = { 5 }
L : { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
M : { 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 }
N : {Números naturales mayores o iguales a cuatro} = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
Determinar:
¿ Cuantos eventos complementarios se pueden formar al relacionar pares de subconjuntos de S?
Según la definición de eventos complementarios se identifican los pares que cumplen los requerimientos (Mutuamente excluyentes y cubrir el espacio muestral al unirse). Son eventos complementarios los siguientes pares de subconjuntos:
- H y N
- J y M
- L y K
Demostrar que: ( M ∩ K )’ = L
{ 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ { 5 } = { 5 } ; La intersección entre conjuntos arroja como resultado los elementos comunes entre ambos conjuntos operantes. De esta manera el 5 es el único elemento común entre M y K.
{ 5 }’ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } = L ; Debido a que L y K son complementarios, se cumple el tercer axioma descrito anteriormente (Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo)
Defina : [ ( J ∩ H ) U N ]’
J ∩ H = { 3 } ; De manera homóloga al primer paso del ejercicio anterior.
( J ∩ H ) U N = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } ; Estas operaciones se conocen como combinadas y suelen tratarse con un diagrama de Venn.
[ ( J ∩ H ) U N ]’ = { 0 , 1 , 2 } ; Queda definido el complemento de la operación combinada.
Demostrar que: { [ H U N ] ∩ [ J U M ] ∩ [ L U K ] }’ = ∅
La operación compuesta descrita dentro de las llaves, se refiere a las intersecciones entre las uniones de los eventos complementarios. De esta forma se procede a verificar el primer axioma (La unión de dos eventos complementarios es igual al espacio muestral).
[ H U N ] ∩ [ J U M ] ∩ [ L U K ] = S ∩ S ∩ S = S ; La unión e intersección de un conjunto consigo mismo genera el mismo conjunto.
Luego; S’ = ∅ Por definición de conjuntos.
Defina 4 intersecciones entre los subconjuntos, cuyos resultados sean diferentes al conjunto vacío (∅).
- M ∩ N
{ 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } = { 4 , 5 , 7 , 8 , 10 }
- L ∩ H
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } ∩ { 0 , 1 , 2 , 3 } = { 0 , 1 , 2 , 3 }
- J ∩ N
{ 3, 6, 9 } ∩ { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } = { 6 , 9 }
- THE ROLE OF STATISTICAL METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND BIOINFORMATICS. Irina Arhipova. Latvia University of Agriculture, Latvia. [email protected]
- Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. Colin G.G. Aitken. School of Mathematics. The University of Edinburgh, UK
- BASIC PROBABILITY THEORY, Robert B. Ash. Department of Mathematics. University of Illinois
- Elementary STATISTICS. Tenth Edition. Mario F. Triola. Boston San.
- Mathematics and Engineering in Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, D. C. 20234
- Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.
F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies