Teorema del factor: explicación, ejemplos, ejercicios
El teorema del factor afirma que un polinomio P(x) es divisible por un binomio de la forma (x – a) si x = a es una raíz de P(x), es decir P(a) = 0. Se dice que un polinomio es divisible entre otro cuando su residuo o resto es cero.
Un polinomio es una expresión de la forma:
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …… + a1 x + a0
Donde:
-n es el grado del polinomio, siendo n el mayor número entero al que se eleva la variable independiente x,
-Los valores an, an-1 , …… + a1 , a0 son los coeficientes del polinomio, que generalmente son números reales, pero también pudiesen ser números complejos.
Un polinomio de grado n puede descomponerse como el producto de n binomios de la forma:
( x – ri)
Donde ri es la i-ésima raíz de P(x):
P(x) = an (x – r1) (x – r2) …..(x – rn)
Ya que el número de raíces de un polinomio es igual al grado del mismo.
Índice del artículo
Consideremos por caso el polinomio:
P(x) = 3⋅x2 – 7⋅x + 2
Se quiere saber si este polinomio es divisible por el binomio (x – 2). Si se hace uso del teorema del factor, entonces debemos evaluar P(x=2) para saber si el valor 2 es una raíz o no lo es. Procedemos pues a evaluar la expresión:
P(2) = 3⋅22 – 7⋅2 + 2 = 3⋅4 – 7⋅2 + 2 = 12 – 14 + 2 = 12 – 12 = 0.
Resulta que x=2 es raíz de P(x), por lo que de acuerdo al teorema del factor, el binomio (x – 2) efectivamente es un factor de P(x).
Pasemos a la verificación directa efectuando la división. El detalle de cómo se efectúa la división se muestra en la siguiente figura:
Se verifica que el cociente entre P(x) y (x-2) da un polinomio de un grado menor llamado el cociente C(x) = 3⋅x – 1 con residuo 0.
Podemos resumir el resultado de la siguiente manera:
(3⋅x2 – 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x – 1) + 0
La expresión anterior puede escribirse de otra manera, simplemente recordando que el dividendo P(x) es igual al producto del divisor (x -2) por el cociente (3⋅x – 1) más el residuo (cero en este caso):
(3⋅x2 – 7⋅x + 2) = (x -2)(3⋅x – 1) + 0
De esta forma se logró factorizar el polinomio P(x), es decir, escribir como producto de polinomios, el polinomio original:
(3⋅x2 – 7⋅x + 2) = (x -2)(3⋅x – 1)
Sea el polinomio Q(x) = x3 – x + 2. Se quiere saber si el mismo es divisible por el binomio (x + 1).
La forma más directa es simplemente aplicar el teorema del factor. En este caso simplemente hay que verificar si x = -1 anula o no al polinomio Q(x).
Procedemos sustituyendo:
Q(-1) = (-1)3 – (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
El resultado es diferente de cero, por lo tanto el teorema del factor nos asegura que el polinomio Q(x) no es divisible entre (x + 1), ya que Q(-1) ≠ 0.
Ahora se procederá a efectuar la división de Q(x) entre el binomio (x + 1) como un método de verificación de nuestra conclusión.
En esta oportunidad la división se efectuará mediante el método de la división sintética, el cual consiste en colocar en la primera fila ordenado de mayor grado a grado cero todos los coeficientes del polinomio, inclusive los faltantes, ya que estos tienen coeficiente cero.
Luego en la primera columna se coloca el término independiente del divisor pero con el signo cambiado, en nuestro caso el divisor es ( x + 1). Su término independiente es 1, pero como en la primera columna se coloca cambiado de signo, es decir -1.
La siguiente figura ilustra cómo se efectúa la división sintética:
Con este resultado se comprueba que (x + 1) no es un factor del polinomio Q(x) = x3 – x + 2 ya que el residuo no es cero.
Esta conclusión no sorprende, porque ya se había predicho con el teorema del factor. Nótese además que al sustituir x = -1 en Q(x) lo que se obtiene es precisamente el residuo o resto de la división de polinomios, ya que Q(-1) = residuo = 2.
Claro está que la división aporta la información adicional del cociente C(x) = x2 – x.
Recordando que dividendo Q(x) es igual al divisor (x + 1) por el cociente C(x) más el residuo r= 2 nos queda la expansión del polinomio Q(x) de la siguiente forma:
Q(x) = (x + 1) (x2 – x) + 2 = x (x + 1) (x – 1) + 2
Debe notarse que esta expresión no es la factorización de dicho polinomio, ya que hay un término no nulo sumando, que es justamente el residuo de valor 2.
Hallar los factores del polinomio
P(x) = x3 – 5 x2 + 2 x + 8
Y además escribir su factorización.
Solución
El teorema del factor nos indica que debemos buscar las raíces a para luego encontrar los factores (x – a), en este caso como se trata de un polinomio de grado tres, deben existir tres raíces.
Como se trata de un polinomio con coeficientes enteros, las raíces deben estar entre los divisores del término independiente que en este caso es 8. Estos divisores son:
±1, ±2, ±4, ±8.
Comenzamos por explorar +1: P(+1) = 13 – 5⋅ 12 + 2⋅1 + 8 = 1 – 5 + 2 + 8 = 6 que es diferente de 0, por tanto +1 no es raíz.
Exploramos -1:
P(-1) = (-1)3 – 5⋅ (-1)2 + 2⋅(-1) + 8 = -1 – 5 – 2 + 8 = 0
Del resultado se concluye que -1 es raíz de P(x) y ( x – (-1)) = (x + 1) es un factor del polinomio.
Falta por encontrar dos factores más:
Probamos el siguiente que es +2:
P(+2) = (+2)3 – 5⋅ (+2)2 + 2⋅(+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0
De nuevo obtenemos cero. Entonces el otro factor es (x – 2).
Como se trata de un polinomio de grado tres solo nos falta por encontrar un factor. Ahora probamos el valor +4 para saber si anula el polinomio:
P(+4) = (+4)3 – 5⋅ (+4)2 + 2⋅(+4) + 8 = 64 – 80 + 8 + 8 = 0.
Es decir que +4 es raíz de P(x) y por tanto el binomio ( x – 4 ) es otro de sus factores.
Ya no hay que seguir buscando, porque se trata de un polinomio de grado 3 que tiene tres raíces a lo sumo. En este ejercicio todas las raíces resultaron ser reales y enteras.
Por lo tanto el polinomio P(x) se factoriza así:
P(x) = x3 – 5 x2 + 2 x + 8 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( x – 4 ).
Sea el polinomio p⋅x3 – x + 2p. Determinar el valor de p para que el polinomio sea divisible por (x + 2).
Solución
Usamos el teorema del factor, el cual afirma que si x = -2 anula al polinomio entonces (x – (-2)) es un factor de dicho polinomio.
Entonces se sustituye x por (-2) en el polinomio original, se simplifica y se iguala a cero:
p⋅(-2)3 – (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0
Ahora se despeja el valor de p de modo que se cumpla la igualdad a cero:
p = -2 / 10 = -⅕
Esto significa que el polinomio:
-⅕⋅x3 – x – ⅖
Es divisible por ( x + 2 ), o lo que es equivalente: ( x + 2 ) es uno de sus factores.
- Baldor Aurelio. Algebra. Grupo Editorial Patria.
- Demana, W. Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico 7ma Ed. Pearson Educación.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
- Zill, D. 1984. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill.