Fracciones parciales: qué es, cómo se calculan, ejemplos, ejercicios

¿Qué son las fracciones parciales?

El método de las fracciones parciales o fracciones simples se utiliza en álgebra y cálculo matemático para descomponer una expresión racional, quedando una suma algebraica de fracciones más sencillas.

Siendo los sumandos fracciones simples, se facilita el cálculo de operaciones tales como derivadas e integrales, entre otras.

Considérese la siguiente expresión algebraica racional, la cual consta de los polinomios P(x) y Q(x) en el numerador y denominador, respectivamente:

Se desea escribir esta expresión como la suma de fracciones más pequeñas. Para ello hay que notar que el polinomio Q(x) en el denominador es un trinomio cuadrado, el cual se puede factorizar rápidamente, como producto de dos factores:

x²+x−12= (x+4)(x−3)

Por tanto, la expresión anterior queda así:

Conociendo la suma de fracciones, esta manera de escribir la expresión conduce fácilmente a esta otra:

Resta hallar los valores de A y B, para que la expresión original quede expresada como la suma de estas dos fracciones más pequeñas. Para el ejemplo mostrado, los valores son: A = 3 y B = 2, y el lector puede confirmar que, en efecto, la suma:

Equivale a la expresión original:

Ya que:

¿Cómo se calculan las fracciones parciales?

Hay métodos para el cálculo de los coeficientes que deben ir en los numeradores de las fracciones simples, que dependen de la forma de la expresión racional original, es decir, de la forma de P(x)/Q(x).

En primer lugar, hay que recordar que, cuando el grado de P(x) es menor que el de Q(x), se trata de una expresión racional propia, y si ocurre lo contrario, es una expresión racional impropia.

Los métodos para descomponer en fracciones simples se refieren a expresiones algebraicas propias, si no lo son, primero deben reducirse, llevando a cabo la operación de división P(x)/Q(x).

Seguidamente, la meta es encontrar los numeradores de cada una de las fracciones, para lo cual se distinguen cuatro casos, que depende de la factorización del denominador Q(x).

Caso 1: los factores de Q(x) son lineales y no repetidos

Si los factores de Q(x) son lineales y no repetidos, es decir, son de la forma (x-a_i):

Q(x) = (x -a₁)(x-a₂)…(x-a_n)

Con a₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_n, es decir, todos los factores de Q(x) son diferentes, la expresión racional se escribe como:

Los valores de A₁, A₂, A₃… A_n, deben determinarse. La expresión racional mostrada al comienzo es un ejemplo de este caso.

Caso 2: Q(x) tiene factores lineales repetidos

Si Q(x) consiste en un factor repetido de la forma (x−a)ⁿ, con n ≥ 2, la descomposición en fracciones parciales se lleva a cabo así:

Tal como en el caso anterior, los coeficientes deben ser determinados mediante procedimientos algebraicos.

Caso 3: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Si al factorizar Q(x) aparece un factor cuadrático irreducible, de la forma ax²+bx+c, para dicho factor hay que incluir, en la descomposición, un sumando con esta forma:

Deberán hallarse los valores de A y B.

Caso 4: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible y repetido

Suponiendo que la factorización de Q(x) contenga un factor cuadrático irreducible y repetido, de la forma (ax²+bx+c)ⁿ, se deben incluir los siguientes sumandos:

Como siempre, deben calcularse los coeficientes necesarios. Los ejemplos a continuación muestran los procedimientos algebraicos que se requieren.

Ejemplos de fracciones parciales

Ejemplo 1

La siguiente expresión racional propia:

ya viene con el denominador factorizado, consistente en dos factores lineales no repetidos, por lo que Q(x) es:

Q(x)= (x+2)(x−1)

Entonces, la descomposición en fracciones parciales buscada corresponde al caso 1, pudiendo escribirse:

Para hallar los valores respectivos de A y B, se procede efectuando la suma a la derecha de la igualdad:

Igualando numeradores:

A(x−1) + B(x+2) = 3x

Aplicando propiedad distributiva y agrupando términos semejantes:

Ax – A + Bx + 2B = 3x

(A + B)x +(−A+2B) = 3x

El coeficiente (A+B) se iguala a 3, puesto que ambos acompañan, a uno y otro lado de la igualdad, al término que contiene “x”. Por su parte, el coeficiente (−A+2B) se iguala a 0, ya que a la derecha de la igualdad no hay otro término semejante.

Se forma entonces el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

A+B = 3
−A+2B = 0

Cuya solución es:

A = 2
B = 1

Por lo tanto:

El lector puede comprobar la igualdad, llevando a cabo la suma de fracciones de la derecha.

Ejemplo 2

En esta otra expresión:

También factorizada ya, se observa la aparición del término repetido (x+1)², además del término lineal (x+2). En ese caso, la descomposición en fracciones parciales, de acuerdo a lo señalado en el caso 2, es:

Para encontrar los valores de A, B y C, se ejecuta la suma de la derecha, y se utiliza solo el numerador:

El numerador de la expresión resultante se iguala al de la expresión original, desarrollándose algebraicamente para separar los términos semejantes:

A(x+1)² + B(x+2)(x+1) + C(x+2) = x−3

A(x²+2x+1)+B(x²+3x+2)+C(x+2) = x−3

(A+B)x² + (2A+3B+C)x+(A+2B+2C) = x−3

A partir del resultado, se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C:

A + B = 0
2A+3B+C = 1
A+2B+2C = −3

La solución del sistema es:

A = −5
B = 5
C = −4

La descomposición en fracciones parciales solicitada es:

Ejercicio resuelto

En esta sección se muestra un ejercicio resuelto ilustrando la aplicación del método de las fracciones parciales o fracciones simples, al cálculo de integrales indefinidas. El objetivo es escribir el integrando de una manera más sencilla.

Una vez reescrito, las integrales sencillas resultantes se buscan en una tabla o se resuelven mediante un cambio de variable simple.

Se pide calcular la siguiente integral:

Solución

Lo primero es verificar que el integrando es, efectivamente, una expresión algebraica racional propia, ya que el grado del numerador es menor que el del denominador. Su denominador se factoriza fácilmente y queda:

Por lo tanto, Q(x) es:

Q(x) =x(x²+2)

y consta de un término lineal: x y un término cuadrático irreducible no repetido: x²+2, por lo tanto, se trata de una combinación del caso 1 y el caso 3. La descomposición en fracciones parciales del integrando resulta:

Efectuando la suma a la derecha de la igualdad:

Como siempre, para las fracciones parciales solo se trabaja con el numerador de la expresión suma, el cual debe igualarse siempre al de la expresión original:

A(x² + 2) + x(Bx + C) = 2

Desarrollando:

Ax² + 2A + Bx² + Cx = 2

Agrupando términos semejantes:

(A+B)x² + Cx + 2A= 2

Igualando los coeficientes de los términos semejantes, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver, con las incógnitas A, B y C:

A + B = 0
C = 0
2A = 2

De la segunda ecuación, ya se sabe que C = 0, de la última se deduce que A = 1, por lo tanto B = –1, para que se cumpla la primera. Con estos valores se obtiene:

Ahora se sustituye en la integral original:

Y se obtienen dos integrales sencillas con funciones elementales, que se encuentran en las tablas o son de resolución rápida.

La primera ide estas integrales es elemental:

Y la segunda integral:

se resuelve con el siguiente cambio de variable: u = x²+4, du = 2xdx, dando lugar a:

Regresando el cambio de variable:

Por último, reuniendo ambos resultados, se determina la solución:

Las dos constantes de integración van en una sola, llamada C.

Referencias

1. Araujo, F. 2018. Cálculo integral. Universidad Politécnica Salesiana. Editorial Universitaria Abya-Yala. Quito-Ecuador.
2. Arcega, R. Integración por descomposición en fracciones parciales. Recuperado de: uaeh.edu.mx.
3. Larson, R. 2012. Precálculo. 8va. Edición. Cengage Learning.
4. Purcell, E. J. 2007. Cálculo. 9na. Edición. Prentice Hall.
5. Swokowski, E. 2011. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 13va. Edición. Cengage Learning.