Ángulos conjugados internos y externos: ejemplos, ejercicios
Los ángulos conjugados son los que al ser sumados da como resultado 360°, sin importar que dichos ángulos sean adyacentes o no. En la figura 1 se muestran dos ángulos conjugados, denotados como α y β.
En ese caso, los ángulos α y β de la figura tienen un vértice en común y sus lados son comunes, por lo tanto son adyacentes. La relación entre ellos se expresa de la siguiente manera:
α + β = 360º
Por otra parte consideremos ahora dos rectas paralelas cortadas por una secante, cuya disposición se muestra seguidamente:
Las rectas MN y PQ son paralelas, mientras que la recta RS es secante, intersectando a las paralelas en dos puntos. Como se puede apreciar, esta configuración determina la formación de 8 ángulos, a los cuales se ha denotado con letras minúsculas.
Pues bien, de acuerdo a la definición dada al comienzo, los ángulos a, b, c y d son conjugados. Y de igual forma lo son e, f, g y h, ya que ambos casos se cumple que:
a+b+c+d = 360º
Y
e+f+g+h = 360º
Para esta configuración, dos ángulos son conjugados si están a un mismo lado respecto a la recta secante RS y ambos son internos o bien externos. En el primer caso se habla de ángulos conjugados internos, mientras que en el segundo, son ángulos conjugados externos.
Índice del artículo
En la figura 2, los ángulos externos son aquellos que están por fuera de la región delimitada por las rectas MN y PQ, se trata de los ángulos A, B, G y H. Mientras que los ángulos que se encuentran entre las dos rectas son C, D, E y F.
Ahora es preciso analizar cuáles ángulos están a la izquierda y cuáles a la derecha de la secante.
A la izquierda de RS están los ángulos A, C, E y G. Y a la derecha están B, D, F y H.
De inmediato procedemos a determinar las parejas de ángulos conjugados, de acuerdo a la definición dada en la sección anterior:
-A y G, externos y a la izquierda de RS.
-D y F, internos y a la derecha de RS.
-B y H, externos y a la derecha de RS.
-C y E, internos y a la izquierda de RS.
Propiedad de los ángulos conjugados entre rectas paralelas
Los ángulos conjugados entre rectas paralelas son suplementarios, es decir, su suma es igual a 180 º. De esta forma, para la figura 2 se cumple lo siguiente:
A + G = 180º
D + F = 180º
B + H =180º
C + E = 180º
Los pares de ángulos correspondientes para las rectas paralelas
Son aquellos que se encuentran del mismo lado de la recta secante, son no adyacentes y uno de ellos es interno y el otro es externo. Es importante visualizarlos, ya que su medida es la misma, porque son ángulos opuestos por el vértice.
Regresando a la figura 2, se identifican los pares de ángulos correspondientes como:
-A y E
-C y G
-B y F
-D y H
Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados, entre ellos destacan el cuadrado, el rectángulo, el trapecio, el paralelogramo y el rombo, por ejemplo. Sin importar su forma, en cualquiera de ellos se cumple que la suma de sus ángulos internos es 360º, por lo tanto cumplen con la definición dada al inicio.
Veamos algunos ejemplos de cuadriláteros y cómo calcular el valor sus ángulos internos de acuerdo a la información de las secciones precedentes:
a) Tres de los ángulos de un cuadrilátero miden 75º, 110º y 70º. ¿Cuánto debe medir el ángulo restante?
b) Encontrar el valor del ángulo ∠Q en la figura 3 i.
c) Calcular cuánto mide el ángulo ∠A de la figura 3 ii.
Solución a
Sea α el ángulo que falta, se cumple que:
α + 75 º + 110º + 70º = 360 º → α =105º
Solución b
La figura 3i mostrada es un trapezoide y dos de sus ángulos internos son rectos, que han sido señalados con un cuadrado de color en las esquinas. Para este cuadrilátero se verifica lo siguiente:
∠R + ∠S + ∠P +∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90º; ∠P = 60º
Por lo tanto:
∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º
Solución c
El cuadrilátero de la figura 3 ii también es un trapecio, para el cual se cumple lo siguiente:
∠A + ∠B + ∠C +∠D = 360º
Por lo tanto:
4x -5 + 3x + 10 +180 = 360
7x + 5= 180
x = (180 – 5) / 7
x = 25
Para determinar el ángulo pedido en el enunciado, se hace uso de que ∠A = 4x – 5. Sustituyendo el valor de x previamente calculado se sigue que ∠A = (4 × 25) -5 = 95º
Sabiendo que uno de los ángulos mostrados vale 125º, hallar las medidas de los 7 ángulos restantes en la siguiente figura y justificar las respuestas.
Solución
El ángulo 6 y el ángulo 125º son conjugados internos, cuya suma vale 180º, de acuerdo a la propiedad de los ángulos conjugados, por lo tanto:
∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º – 125º = 55º
Por otra parte ∠6 y ∠8 son ángulos opuestos por el vértice, cuya medida es la misma. Por lo tanto ∠8 mide 55º.
El ángulo ∠1 también es opuesto por el vértice a 125º, luego podemos afirmar que ∠1 = 125º. También podemos apelar al hecho de que los pares de ángulos correspondientes tienen la misma medida. En la figura estos ángulos son:
∠7 = 125 º
∠2 = ∠6 = 55 º
∠1 = ∠5 = 125º
∠4 = ∠8 = 55 º
Encontrar el valor de x en la siguiente figura y los valores de todos los ángulos:
Solución
Ya que son pares correspondientes, se deduce que F=73º. Y por otra parte la suma de los pares conjugados es 180º, por lo tanto:
3x + 20º+ 73º = 180º
3x = 180º – 73º -20º = 87
Finalmente el valor de x es:
x = 87/3 = 29
En cuanto a todos los ángulos, aparecen listados en la siguiente figura:
- Angle Groups. Complementary, Supplementary and Explementary Angles Explanation. Recuperado de: thisiget.com/
- Baldor, A. 1983. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Grupo Patria Cultural.
- Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Recuperado de: math.libretexts.org.
- Mathmania. Classifying and constructing angles by their measurement. Recuperado de: mathemania.com/
- Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
- Wikipedia. Ángulos conjugados. Recuperado de: es.wikipedia.org.