Cálculo de aproximaciones usando diferenciales
Una aproximación en matemáticas es un número que no es el valor exacto de algo, pero está tan cerca de este que se considera tan útil como dicho valor exacto.
Cuando en matemáticas se realizan aproximaciones es porque manualmente resulta difícil (o en algunas ocasiones imposible) conocer el valor preciso de lo que se quiere.
La herramienta principal cuando se trabaja con aproximaciones es la diferencial de una función. La diferencial de una función f, denotada por Δf(x), no es más que la derivada de la función f multiplicada por el cambio en la variable independiente, es decir, Δf(x)=f''(x)*Δx.
En ocasiones se utiliza df y dx en lugar de Δf y Δx.
Aproximaciones usando la diferencial
La fórmula que se aplica para realizar una aproximación a través de la diferencial surge justamente a partir de la definición de la derivada de una función como un límite.
Esta fórmula viene dada por:
f(x) ≈ f(x0) + f''(x0)*(x-x0) = f(x0) + f''(x0)*Δx.
Aquí se entiende que Δx=x-x0, por lo tanto, x=x0+Δx. Utilizando esto la fórmula puede reescribirse como
f(x0+Δx) ≈ f(x0) + f''(x0)*Δx.
Cabe destacar que “x0” no es un valor arbitrario, sino que es un valor tal que f(x0) es conocido fácilmente; además, “f(x)” es justo el valor que queremos aproximar.
¿Hay mejores aproximaciones?
La respuesta es si. La anterior es la más sencilla de las aproximaciones llamada “aproximación lineal”.
Para aproximaciones de mejor calidad (el error cometido es menor), se utilizan polinomios con más derivadas llamados “polinomios de Taylor”, así como también existen otros métodos numéricos como el método de Newton-Raphson entre otros.
Estrategia
La estrategia a seguir es:
– Escoger una función f adecuada para realizar la aproximación y el valor “x” tal que f(x) sea el valor que se quiere aproximar.
– Escoger un valor “x0”, cercano a “x”, tal que la f(x0) sea fácil de calcular.
– Calcular Δx=x-x0.
– Calcular la derivada de la función y f''(x0).
– Sustituir en la fórmula los datos.
Ejercicios de aproximaciones resueltos
En lo que continúa hay una serie de ejercicios donde se realizan aproximaciones utilizando la diferencial.
1. Primer ejercicio
Aproxime √3.
Solución
Siguiendo la estrategia se debe escoger una función adecuada. En este caso se puede apreciar que la función a escoger debe ser f(x)=√x y el valor a aproximar es f(3)=√3.
Ahora se debe escoger un valor “x0” cercano a “3” tal que f(x0) sea fácil de calcular. Si se escoge “x0=2” se tiene que “x0” es cercano a “3” pero f(x0)=f(2)=√2 no es fácil de calcular.
El valor de “x0” que conviene es “4”, pues “4” es cercano a “3” y además f(x0)=f(4)=√4=2.
Si “x=3” y “x0=4”, entonces Δx = 3-4 = -1. Ahora se procede a calcular la derivada de f. Esto es, f''(x) = 1 / 2*√x, de modo que f''(4)= 1 / 2√4 = 1 / 2*2 = 1/4.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula se obtiene:
√3 = f(3) ≈ 2 + (1/4)*(-1) = 2 – 1/4 = 7/4 =1.75.
Si se utiliza una calculadora se obtiene que √3≈1.73205… Esto muestra que el resultado anterior es una buena aproximación del valor real.
2. Segundo ejercicio
Aproxime √10.
Solución
Al igual que antes se escoge como función f(x)=√x y en este caso x=10.
El valor de x0 que se debe escoger en esta oportunidad es “x0=9”. Se tiene entonces que Δx = 10-9 = 1, f(9) = 3 y f''(9)= 1 / 2√9 = 1 / 2*3 = 1/6.
Al evaluar en la fórmula se obtiene que
√10 = f(10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3+1/6 = 19/6 = 3.1666…
Utilizando una calculadora se obtiene que √10 ≈ 3.1622776… Aquí también se puede apreciar que antes se obtuvo una buena aproximación.
3. Tercer ejercicio
Aproxime ³√10, donde ³√ denota la raíz cúbica.
Solución
Claramente, la función que se debe utilizar en este ejercicio es f(x)=³√x y el valor de “x” debe ser “10”.
Un valor cercano a “10” tal que su raíz cúbica es conocida es “x0=8”. Entonces se tiene que Δx = 10-8 = 2 y f(x0) = f(8) = 2. También se tiene que f''(x) = 1/3*³√x², y en consecuencia f''(8) = 1/3*³√8² = 1/3*³√64 = 1/3*4 = 1/12.
Sustituyendo los datos en la fórmula se obtiene que:
³√10 = f(10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2+1/6 = 13/6 = 2.166666….
La calculadora dice que ³√10 ≈ 2.15443469… Por lo tanto, la aproximación encontrada es buena.
4. Cuarto ejercicio
Aproxime ln(1.3), donde “ln” denota la función logaritmo natural.
Solución
Primero se escoge como función f(x)=ln(x) y el valor de “x” es 1.3. Ahora, conociendo un poco sobre la función logaritmo, se puede saber que ln(1)=0, y además “1” es cercano a “1.3”. Por lo tanto, se escoge “x0=1” y así Δx = 1.3 – 1 = 0.3.
Por otro lado, f''(x) = 1/x, de modo que f''(1)=1. Al evaluar en la fórmula dada se tiene que:
ln(1.3) = f(1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.
Al utilizar una calculadora se tiene que ln(1.3) ≈ 0.262364… De modo que la aproximación hecha es buena.