Momento angular: cantidad, conservación, ejemplos, ejercicios
El momento angular o cantidad de movimiento angular es, para el movimiento de rotación, lo que el momento lineal es para el movimiento de traslación. Se trata de una magnitud vectorial que caracteriza la rotación de una partícula puntual o un objeto extendido alrededor de un eje que pasa por un punto.
Esto significa que siempre que se vaya a calcular el momento angular, se debe especificar el eje de rotación convenientemente.
Comenzando con un punto material de masa m, el momento angular se denota mediante L, el momento lineal como p y la posición de la partícula respecto a un eje que pasa por un determinado punto O es r, entonces:
L = r x p
Las letras negritas se reservan para las magnitudes vectoriales y la cruz significa que el momento angular es el producto vectorial entre el vector de posición r y el momento lineal p de la partícula. El vector que resulta de un producto vectorial es perpendicular al plano formado por los vectores participantes.
Esto significa que la dirección y el sentido de L pueden encontrarse mediante la regla de la mano derecha para el producto cruz.
En el Sistema Internacional de unidades SI, las unidades del momento angular son kg⋅m2/s, las cuales no tienen un nombre especial. Y para un cuerpo extendido, que está compuesto de muchas partículas, la definición anterior se extiende convenientemente.
Índice del artículo
- 1 Cantidad de movimiento angular
- 2 Momento angular de un sistema de partículas
- 3 ¿Cuándo varía el momento angular?
- 4 Conservación del momento angular
- 5 Ejemplos
- 6 Ejercicio resuelto
- 7 Referencias
La magnitud del vector momento angular es de acuerdo a la definición de producto vectorial:
L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ
Donde ϕ es el ángulo entre los vectores r y v. Entonces ℓ= r sen ϕ es la distancia perpendicular entre la línea de v y el punto O.
Para el caso de la partícula que se mueve describiendo la circunferencia mostrada en la imagen superior, este ángulo es 90º, puesto que la velocidad siempre es tangente a la circunferencia y por ello perpendicular al radio.
Por lo tanto sen 90º = 1 y la magnitud de L es:
L = m⋅r⋅v
El momento de inercia de un cuerpo rígido describe la inercia del cuerpo frente a la rotación alrededor de un cierto eje.
Depende no solamente de la masa del cuerpo, sino también de la distancia al eje de giro. Esto es fácilmente comprensible cuando se piensa en que para algunos objetos, es más fácil rotar respecto a algunos ejes que a otros.
Para un sistema de partículas, el momento de inercia, denotado mediante la letra I, viene dado por:
I = ∑ ri2 Δmi
Donde Δmi es una pequeña porción de masa y ri es su distancia respecto al eje de rotación. Un cuerpo extendido está compuesto de numerosas partículas, de allí que su momento de inercia total es la sumatoria de todos los productos entre la masa y la distancia, de las partículas que lo componen.
Si se trata de un cuerpo extendido, la sumatoria cambia a una integral y Δm pasa a ser un diferencial de masa dm. Los límites de integración dependen de la geometría del objeto:
I = ∫M (r2)dm
El concepto de momento de inercia está estrechamente relacionado con el momento angular de un objeto extendido, como veremos seguidamente.
Considérese un sistema de partículas, compuesto de masas Δmi que está rotando siguiendo una circunferencia en el plano xy, cada una tiene una rapidez lineal relacionada con su rapidez angular, esta última la misma para todas las partículas:
vi = ωri
Donde ri es la distancia al eje de rotación O. Entonces la magnitud del momento angular es:
Li= Δmi. ri. (ωri)= ri2ω Δmi
El momento angular del sistema vendrá dado por la sumatoria:
L = ω ∑ ri2 Δmi
Identificamos rápidamente el momento de inercia, tal como se definió en el apartado anterior, y por lo tanto la magnitud de su momento angular queda así:
L = Iω
Como hemos dicho que el sistema de partículas se encontraba en el plano xy, resulta que el momento angular está dirigido a lo largo del eje z, perpendicular a dicho plano. El sentido viene dado por el de la rotación: el momento angular es positivo si la rotación se lleva a cabo en sentido antihorario.
Un cuerpo extendido se puede dividir en rebanadas, cada una con momento angular dado por L = Iω dirigido a lo largo del eje z. Si el eje de simetría del objeto coincide con el eje z no hay problema, ya que incluso para puntos que no se encuentren en el plano xy, las componentes del momento angular perpendiculares a dicho eje se cancelan.
Vectorialmente:
L = Iω
Esta ecuación es válida para objetos tridimensionales que giran alrededor de un eje de simetría.
Cuando una fuerza neta actúa sobre una partícula o un cuerpo, su momento lineal puede cambiar, y en consecuencia también lo hará su momento angular. Para saber cuándo varía hacemos uso de la derivada, que nos dará la tasa de cambio en el tiempo, si la hay:
Aplicando la regla del producto para la derivada:
El término v x mv es nulo, ya que es el producto de un vector consigo mismo, y en el segundo término encontramos la fuerza neta F = ma, por lo tanto:
El producto vectorial r x F no es otra cosa que el torque o momento de torsión neto, denotado a veces con la letra griega τ o como M, siempre en negrita, ya que es una cantidad vectorial. Entonces, en analogía con el momento lineal, el momento angular varía siempre y cuando exista un torque o momento de torsión neto:
dL/dt = M
De las secciones precedentes hemos visto que:
dL/dt = M
Es decir, el momento angular varía cuando existe un momento de torsión neto. Si no existe un momento de torsión neto, entonces:
dL/dt = 0 → L es constante
En otras palabras:
Momento angular inicial = Momento angular final
Este resultado sigue siendo válido aún en el caso de que un cuerpo no sea rígido, como veremos en los siguientes ejemplos.
El momento angular es una importante magnitud que se pone de manifiesto en numerosas situaciones, lo que demuestra lo universal que es:
Siempre que un cuerpo que gira se contrae, aumenta su velocidad de rotación, esto lo saben bien los patinadores sobre hielo.
Ello se debe a que al contraer brazos y piernas disminuye el momento de inercia I, pues disminuye la distancia entre sus partes, pero como el momento angular se conserva, para mantener constante el producto Iω, la velocidad angular debe aumentar.
Esto es válido no solamente en el patinaje, sino también en los deportes y actividades en los cuales es preciso hacer giros, como los clavadistas y los trapecistas en el circo.
Los gatos se las arreglan siempre para aterrizar en cuatro patas cuando caen. Aunque no tengan cantidad de movimiento inicial, se aseguran de girar rápidamente patas y cola para cambiar su inercia de rotación y arreglárselas para caer de pie.
Igualmente mientras maniobran, su momento angular es nulo, ya que su rotación no es continua.
Un frisbee se debe lanzar imprimiéndole un giro para que vuele, ya que de lo contrario cae. En efecto, el momento angular provisto por el lanzador le brinda la estabilidad suficiente al disco, para moverse más lejos en el aire.
Las bolas de béisbol, fútbol, baloncesto y otros deportes tienen momento angular. Como son esféricas tienen momento de inercia y durante el juego se las hace rotar. Como el momento de inercia de una esfera es:
I= (2/5)MR2
Donde M es la masa de la pelota y R su radio, el momento de inercia respecto a cierto eje (fijo) es:
L = (2/5)MR2ω
La Luna se está alejando de la Tierra, ya que la rapidez de rotación de la Tierra disminuye a causa de la fricción existente entre las grandes masas acuáticas y el fondo del mar.
El sistema Tierra-Luna conserva su momento angular, por lo tanto, si la Tierra disminuye su contribución, la Luna la aumenta la suya, alejándose de la Tierra.
El primer postulado del modelo atómico de Bohr afirma que un electrón solamente ocupa órbitas donde el momento angular es un múltiplo entero de h/2π, donde h es la constante de Planck.
Una varilla delgada de acero tiene una masa de 500 g y una longitud de 30 cm. Gira alrededor de un eje que pasa por su centro a razón de 300 revoluciones por minuto. Determinar el módulo de su cantidad de movimiento angular.
Necesitaremos el momento de inercia de la varilla referido a un eje que pasa por su centro. Consultando las tablas de momento de inercia se encuentra que:
I = (1/12) ML2 = (1/12) × 0.5 kg x (30×10-2 m)2 = 3.75 × 10-3 kg.m2
Puesto que es un cuerpo extendido, del cual conocemos la rapidez angular, utilizamos:
L = Iω
Antes transformamos la rapidez angular o frecuencia angular ω a radianes/s:
ω = (300 revoluciones/minuto) × (1 minuto/60 segundos) x (2π radianes/revolución) = 10 π rad/s
Sustituyendo:
L = 3.75 x10-3 kg⋅m2 × 10 π rad/s = 0.118 kg⋅m2 / s
- Bauer, W. 2011. Física para Ingeniería y Ciencias. Volumen 1. Mc Graw Hill.
- Giambattista, A. 2010. Physics. 2nd. Ed. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. 7ma. Ed. Cengage Learning.
- Tippens, P. 2011. Física: Conceptos y Aplicaciones. 7ma Edición. McGraw Hill.