Vectores libres: propiedades, ejemplos, ejercicios
Los vectores libres son aquellos que están totalmente especificados mediante su magnitud, su dirección y su sentido, sin que sea necesario indicar un punto de aplicación o un origen en particular.
Ya que se pueden dibujar infinitos vectores de esta manera, un vector libre no es una entidad única, sino un conjunto de vectores paralelos e idénticos que son independientes del lugar donde se encuentren.
Digamos que se tienen varios vectores de magnitud 3 dirigidos verticalmente hacia arriba, o de magnitud 5 e inclinados hacia la derecha, como en la figura 1.
Ninguno de estos vectores está específicamente aplicado a algún punto. Entonces cualquiera de los vectores azules o verdes es representativo de su respectivo grupo, puesto que sus características -módulo, dirección y sentido- no se modifican en lo absoluto al ser trasladados a otro lugar del plano.
Un vector libre suele denotarse en texto impreso con una letra minúscula y negrita, por ejemplo v. O con minúscula y una flechita encima si se trata de texto manuscrito.
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La ventaja que tienen los vectores libres es que se les puede mover por el plano o por el espacio y mantienen sus propiedades, ya que cualquier representante del conjunto es igualmente válido.
Por eso en física y en mecánica son utilizados con frecuencia. Por ejemplo, para indicar la velocidad lineal de un sólido que se traslada no es necesario escoger un punto en particular del objeto. Entonces el vector velocidad se comporta como un vector libre.
Otro ejemplo de vector libre es el par de fuerzas. Un par consiste en dos fuerzas de igual magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, aplicadas en distintos puntos de un sólido. El efecto de un par no es trasladar al objeto, sino causar una rotación gracias al momento producido.
En la figura 2 se muestra un par de fuerzas aplicado sobre un volante. Mediante las fuerzas F1 y F2, se crea el par que gira el volante alrededor de su centro y en sentido horario.
Se pueden hacer algunos cambios sobre el par y seguir obteniendo el mismo efecto giratorio, por ejemplo aumentar la fuerza, pero disminuir la distancia entre ellas. O mantener la fuerza y la distancia, pero aplicar el par sobre otra pareja de puntos en el volante, es decir, girar el par alrededor del centro.
El momento del par de fuerzas o simplemente par, es un vector cuyo módulo es Fd y está dirigido perpendicularmente al plano del volante. En el ejemplo mostrado por convención el giro horario tiene sentido negativo.
Al contrario que el vector libre v, los vectores AB y CD son fijos (ver la figura 3), puesto que poseen punto de partida y punto de llegada especificados. Pero al ser equipolentes entre sí, y a su vez con el vector v, son representativos del vector libre v.
Las principales propiedades de los vectores libres son las siguientes:
-Cualquier vector AB (ver figura 2) es, como se dijo, representativo del vector libre v.
-El módulo, la dirección y el sentido son los mismos en cualquier representante del vector libre. En la figura 2, los vectores AB y CD representan al vector libre v y son equipolentes.
-Dado un punto P del espacio, siempre es posible encontrar un representante del vector libre v cuyo origen se encuentre en P y dicho representante es único. Esta es la propiedad más importante de los vectores libres y la que los hace tan versátiles.
-Un vector libre nulo se denota como 0 y es el conjunto de todos los vectores que carecen de magnitud, dirección y sentido.
-Si el vector AB representa al vector libre v, entonces el vector BA representa al vector libre –v.
-Se usará la notación V3 para designar al conjunto de todos los vectores libres del espacio y V2 para designar a todos los vectores libres del plano.
Con los vectores libres se pueden realizar las siguientes operaciones:
-Suma
-Resta
-Multiplicación de escalar por un vector
-Producto escalar entre dos vectores.
-Producto cruz entre dos vectores
-Combinación lineal de vectores
Y más.
Un estudiante pretende llegar a nado desde un punto en la orilla de un río a otro que está justamente enfrente. Para lograrlo nada directamente a una velocidad de 6 km / h, en dirección perpendicular, sin embargo la corriente tiene una rapidez de 4 km/h que lo desvía.
Calcular la velocidad resultante del nadador y qué tanto es desviado por la corriente.
Solución
La velocidad resultante del nadador es la suma vectorial de su velocidad (respecto al río, dibujada verticalmente hacia arriba) y la velocidad del río (dibujada de izquierda a derecha), la cual se efectúa como se indica en la figura a continuación:
La magnitud de la velocidad resultante corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo mostrado, por lo tanto:
v = (62 + 42) ½ km/h = 7.2 km/h
La dirección se puede calcular mediante el ángulo a respecto a la perpendicular a la orilla:
α = arctg (4/6) = 33.7º o bien 56.3º respecto a la orilla.
Encuentre el momento del par de fuerzas que se muestra en la figura:
Solución
El momento se calcula mediante:
M = r x F
Las unidades del momento son lb-f.pie. Puesto que el par está en el plano de la pantalla, el momento está dirigido perpendicularmente al mismo, ya sea hacia afuera o hacia dentro.
Como el par del ejemplo tiende a hacer girar al objeto sobre el que se aplica (que no está mostrado en la figura) en sentido horario, este momento se considera apuntando hacia dentro de la pantalla y con signo negativo.
La magnitud del momento es M =F.d.sen a, siendo a el ángulo entre la fuerza y el vector r. Hay que escoger un punto respecto al cual calcular el momento, que es un vector libre. Se escoge el origen del sistema de referencia, por lo tanto r va desde O hasta el punto de aplicación de cada fuerza.
M1 = M2 = -Fdsen60º = -500 . 20 .sen 60º lb-f . pie = -8660.3 lb-f . pie
El momento neto es la suma de M1 y M2: -17329.5 lb-f . pie.
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