Criterios de divisibilidad: qué son, para qué sirven y reglas
Los criterios de divisibilidad son argumentos teóricos utilizados para determinar si una cifra entera es divisible entre otro número entero. Ya que las divisiones deben ser exactas, este criterio aplica solo para el conjunto de números enteros Z. Por ejemplo la cifra 123 es divisible entre tres, según los criterios de divisibilidad del 3, los cuales se especificarán más adelante.
Se dice que una división es exacta si su residuo es igual a cero, siendo el residuo el valor diferencial obtenido en el método de división manual tradicional. Si el residuo resulta distinto de cero la división es inexacta, siendo necesario expresar la cifra resultante con valores decimales.
Índice del artículo
- 1 ¿Para qué sirven los criterios de divisivilidad?
- 2 Reglas más comunes
- 2.1 Criterio de divisibilidad del uno “1”
- 2.2 Criterio de divisibilidad del dos “2”
- 2.3 Criterio de divisibilidad del tres “3”
- 2.4 Criterio de divisibilidad del cuatro “4”
- 2.5 Criterio de divisibilidad del cinco “5”
- 2.6 Criterio de divisibilidad del seis “6”
- 2.7 Criterio de divisibilidad del siete “7”
- 2.8 Criterio de divisibilidad del ocho “8”
- 2.9 Criterio de divisibilidad del nueve “9”
- 2.10 Criterio de divisibilidad del diez “10”
- 2.11 Criterio de divisibilidad del once “11”
- 3 Referencias
Su mayor utilidad se establece previa a una división manual tradicional, donde se hace necesario conocer si se obtendrá una cifra entera después de realizar dicha división.
Son comunes en la obtención de raíces por el método de Ruffini y otros procedimientos referentes a la factorización. Esta es una herramienta conocida para estudiantes que, por motivos pedagógicos, no tienen permitido aún el uso de calculadoras o herramientas digitales de cálculo.
Existen criterios de divisibilidad para muchos números enteros, que mayormente son utilizados para el trabajo con números primos. Sin embargo, también pueden aplicarse con otros tipos de números. A continuación se definen algunos de estos criterios.
No existe un criterio divisibilidad en concreto para el número uno. Solo es necesario establecer que todo número entero es divisible entre uno. Esto se debe a que todo número multiplicado por uno permanece sin alteración.
Se afirma que un número es divisible entre dos si su último dígito o número referente a las unidades, es cero o par.
Se observan los siguientes ejemplos:
234: Es divisible entre 2 debido a que termina en 4 que es cifra par.
2035: No es divisible entre 2 ya que 5 no es par.
1200: Es divisible entre 2 debido a que su último dígito es cero.
Una cifra será divisible entre tres si la suma de sus dígitos por separado es igual a un número múltiplo de tres.
123: Es divisible entre tres, ya que la suma de sus términos 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2
451: No es divisible entre 3, lo que se comprueba al verificar que 4 + 5 +1 = 10, no es múltiplo de tres.
Para determinar si un número es múltiplo de cuatro se necesita verificar que sus dos últimas cifras sean 00 o un número múltiplo de cuatro.
3822: Observando sus dos últimas cifras “22” se detalla que no son múltiplo de cuatro, por lo tanto la cifra no es divisible entre 4.
644: Se sabe que 44 = 4 x 11, de manera que 644 es divisible entre cuatro.
3200: Por ser sus últimas cifras 00 se concluye que la cifra es divisible entre cuatro.
Resulta bastante intuitivo que el criterio de divisibilidad del cinco es que su último dígito sea igual a cinco o a cero. Ya que en la tabla del cinco se observa que todos los resultados terminan con alguno de estos dos números.
350, 155 y 1605 son según este criterio cifras divisibles entre cinco.
Para que un número sea divisible entre seis se debe cumplir que sea divisible al mismo tiempo entre 2 y 3. Esto tiene sentido, debido a que la descomposición de 6 es igual a 2×3.
Para comprobar la divisibilidad entre seis, se analizan por separado los criterios correspondientes a 2 y 3.
468: Por terminar en número par cumple con el criterio de divisibilidad entre 2. Al sumar por separado los dígitos que componen a la cifra se obtiene 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Se cumple el criterio de divisibilidad del 3. Por lo tanto, 468 es divisible entre seis.
622: Su número par correspondiente a las unidades indica que es divisible entre 2. Pero al sumar sus dígitos por separado 6 + 2 + 2 = 10, que no es múltiplo de 3. De esta forma se verifica que 622 no es divisible entre seis.
Para este criterio se debe separar al número completo en 2 partes; unidades y resto del número. El criterio de divisibilidad entre siete será que la resta entre el número sin las unidades y el doble de las unidades, es igual a cero o a un múltiplo de siete.
Esto se entiende mejor mediante ejemplos.
133: El número sin las unidades es 13 y el doble de las unidades es 3×2=6. De esta forma se procede a realizar la resta. 13 – 6 = 7 = 7×1. De esta forma se asegura que 133 es divisible entre 7.
8435: Se efectúa la resta de 843 – 10 = 833. Al observarse que 833 es aún demasiado grande para para determinar la divisibilidad, se aplica el proceso una vez más. 83 – 6 = 77 = 7 x 11. Se verifica así que 8435 es divisible entre siete.
Se debe cumplir que las tres últimas cifras del número sean 000 o un múltiplo de 8.
3456 y 73000 son divisibles entre ocho.
De manera similar al criterio de divisibilidad del tres, se debe verificar que la suma de sus dígitos por separado sea igual a un múltiplo de nueve.
3438: Al efectuarse la suma se obtiene 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. Se verifica así que 3438 es divisible entre nueve.
1451: Sumando los dígitos por separado, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Al no ser múltiplo de nueve se verifica que 1451 no es divisible entre nueve.
Solo los números que terminen en cero serán divisibles entre diez.
20, 1000, y 2030 son divisibles entre diez.
Este es uno de los más complejos, sin embargo trabajar en orden garantiza su fácil verificación. Para que una cifra sea divisible entre once se debe cumplir que la suma de los dígitos en posición par, menos, la suma de los dígitos en posición impar sea igual a cero o múltiplo de once.
39.369: La suma de las cifras pares será 9 + 6 =15. Y la suma de las cifras de posición impar es 3 + 3 + 9 = 15. De esta forma al efectuar la resta 15 – 15 = 0 se verifica que 39.369 es divisible entre once.
- Criteria for Divisibility. N. N. Vorobyov. University of Chicago Press, 1980
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