Ley del sándwich: explicación y ejercicios
La ley del sándwich o de la tortilla es un método que permite operar con fracciones; específicamente, permite dividir fracciones. En otras palabras, a través de esta ley se pueden realizar divisiones de números racionales. La ley del sándwich es una herramienta útil y sencilla de recordar.
En este artículo se considerará solo el caso de división de números racionales que no sean ambos números enteros. Estos números racionales también son conocidos como números fraccionarios o quebrados.
Explicación
Supongamos que se necesita dividir dos números fraccionarios a/b÷c/d. La ley del sándwich consiste en expresar esta división de la siguiente manera:
Esta ley establece que el resultado se obtiene multiplicando el número ubicado en el extremo superior (en este caso el número “a”) por el número del extremo inferior (en este caso “d”), y dividiendo esta multiplicación entre el producto de los números del medio (en este caso, “b” y “c”). Así, la división anterior es igual a a×d/b×c.
Se puede observar en la forma de expresar la división anterior que la línea del medio es más larga que la de los números fraccionarios. También se aprecia que es similar a un sándwich, dado que las tapas son los números fraccionarios que se quieren dividir.
Esta técnica de división también es conocida como la doble C, ya que se puede usar una “C” grande para identificar el producto de los números extremos y una “C” de menor tamaño para identificar el producto de los números del medio:
Ilustración
Los números fraccionarios o racionales son números de la forma m/n, donde “m” y “n” son números enteros. El inverso multiplicativo de un número racional m/n consiste en otro número racional que, al multiplicarlo por m/n, dé como resultado el número uno (1).
Este inverso multiplicativo se denota por (m/n)-1 y es igual a n/m, ya que m/n×n/m=m×n/n×m=1. Por notación, se tiene también que (m/n)-1=1/(m/n).
La justificación matemática de la ley del sándwich, así como de otras técnicas existentes para dividir fracciones, reside en el hecho de que al dividir dos números racionales a/b y c/d, en el fondo lo que se está haciendo es la multiplicación de a/b por el inverso multiplicativo de c/d. Esto es:
a/b÷c/d=a/b×1/(c/d)=a/b×(c/d)-1=a/b×d/c=a×d/b×c, como ya se había obtenido anteriormente.
Con el fin de no trabajar de más, algo que se debe tener en cuenta antes de usar la ley del sándwich es que ambas fracciones estén lo más simplificadas posible, ya que hay casos en los que no es necesario usar la ley.
Por ejemplo, 8/2÷16/4=4÷4=1. Se pudo haber utilizado la ley del sándwich, obteniéndose el mismo resultado luego de simplificar, pero también se puede realizar la división directamente dado que los numeradores son divisibles entre los denominadores.
Otra cosa importante a considerar es que esta ley también se puede utilizar cuando se requiera dividir un número fraccionario entre un número entero. En este caso, se debe colocar un 1 debajo del número entero, y proceder a usar la ley del sándwich como antes. Esto es así porque cualquier número entero k cumple que k=k/1.
Ejercicios
A continuación se presenta una serie de divisiones en las que se usa la ley del sándwich:
- 2÷(7/3)=(2/1)÷(7/3)=(2×3)/(1×7)=6/7.
- 2/4÷5/6=1/2÷5/6=1×6/2×5=6/10=3/5.
En este caso se simplificaron las fracciones 2/4 y 6/10, dividiendo entre 2 arriba y abajo. Este es un método clásico para simplificar fracciones consistente en encontrar los divisores comunes del numerador y el denominador (si los hay) y dividir ambos entre el divisor común hasta obtener una fracción irreducible (en la que no haya divisores comunes).
- (xy+y)/z÷(x+1)/z2=(xy+y)z2/z(x+1)=(x+1)yz2/z(x+1)=yz.
Referencias
- Almaguer, G. (2002). Matemáticas 1. Editorial Limusa.
- Álvarez, J., Jácome, J., López, J., Cruz, E. d., & Tetumo, J. (2007). Matemáticas básicas, elementos de apoyo. Univ. J. Autónoma de Tabasco.
- Bails, B. (1839). Principios de aritmética. Impreso por Ignacio Cumplido.
- Barker, L. (2011). Leveled Texts for Mathematics: Number and Operations. Teacher Created Materials.
- Barrios, A. A. (2001). Matemáticas 2o. Editorial Progreso.
- Eguiluz, M. L. (2000). Fracciones: un quebradero de cabeza? Noveduc Libros.