Teoría de colas: historia, modelo, para qué sirve y ejemplos
La teoría de colas es la rama de la matemática que estudia los fenómenos y comportamientos en líneas de espera. Se definen cuando un usuario que demanda cierto servicio decide esperar por el servidor para ser procesado.
Estudia los elementos que se hacen presentes en las líneas de espera de cualquier tipo, ya sean de elementos humanos, o de procesamiento de datos u operaciones. Sus conclusiones son de constante aplicación en líneas de producción, registro y procesamiento.
Sus valores sirven en la parametrización de procesos previo a su implementación, sirviendo de elemento organizacional clave para la correcta gestión de planificación.
Índice del artículo
- 1 Historia
- 2 Modelo y elementos
- 3 Modelos
- 4 Tipos de sistemas de colas
- 5 Terminología
- 6 Para qué sirve la teoría
- 7 Elementos presentes en las fórmulas
- 8 Ejemplos
- 9 Referencias
El mayor responsable en su desarrollo fue el matemático de origen danés Agner Kramp Erlang, quien trabajaba en la empresa de telecomunicaciones Copenhagen telephone Exchange.
Agner observó las necesidades crecientes que surgían en el sistema de repartición de servicio telefónico de la compañía. Por eso comenzó el estudio de los fenómenos matemáticos que se podían cuantificar en el sistema de línea de espera.
Su primera publicación oficial fue un artículo titulado Teoría de colas, el cual vio la luz en 1909. Su enfoque estuvo dirigido principalmente al problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas.
Existen distintos modelos de colas donde algunos aspectos son los responsables en definir y caracterizar cada uno de ellos. Antes de definir los modelos se presentan los elementos que constituyen a todo modelo de colas.
Fuente de entrada o población potencial
Es el conjunto de posibles demandantes del servicio. Esto se aplica para cualquier tipo de variable, desde usuarios humanos hasta conjuntos de paquetes de datos. Se clasifican en finitos e infinitos según la naturaleza del conjunto.
La cola
Se refiere al conjunto de elementos que ya forman parte del sistema de servicio. Los cuales ya han aceptado esperar por la disponibilidad del operador. Se encuentran en estado de espera de las resoluciones del sistema.
Lo componen la triada formada por la cola, el mecanismo de servicio y la disciplina de la cola. Da estructura al protocolo del sistema, rigiendo los criterios de selección de elementos de la cola.
Es el proceso mediante el cual se presta el servicio a cada usuario.
Es todo elemento perteneciente a la población potencial que demanda un servicio. Es importante conocer la tasa de entrada de clientes, así como también la probabilidad que tiene la fuente de generarlos.
Se refiere a la capacidad máxima de elementos que pueden estar en espera de ser servidos. Se puede considerar finita o infinita, siendo en la mayoría de los casos infinita por criterios de practicidad.
Es el protocolo por el cual se determina el orden en que el cliente es atendido. Sirve de canal de procesamiento y orden para los usuarios, siendo el responsable de su disposición y movimiento dentro de la cola. Según sus criterios puede ser de distintos tipos.
– FIFO: De las siglas en ingles First in first out, también conocida como FCFS first come first served. Que significan respectivamente Primero en entrar primero en salir y primero en llegar primero en ser servido. Ambas formas denotan que el primer cliente en llegar será el primero en ser atendido.
– LIFO : Last in first out también conocida como pila o LCFS last come first served. Donde se atiende primero al cliente que ha llegado de ultimo.
– RSS : Random selection of service también llamado SIRO service in random order, donde los clientes son seleccionados según un criterio aleatorio o al azar.
Existen 3 aspectos que rigen el modelo de colas a considerar. Estos son los siguientes:
– Distribución del tiempo entre llegadas: se refiere a la tasa con que se suman unidades a la cola. Son valores de carácter funcional y están sujetos a distintas variables según su naturaleza.
– Distribución del tiempo de servicio: tiempo empleado por el servidor en procesar el servicio demandado por el cliente. Varía según la cantidad de operaciones o gestiones que se establezcan.
Estos 2 aspectos pueden tomar los siguientes valores:
M: distribución exponencial exponencial (Markoviana).
D: Distribución degenerada (tiempos constantes).
Ek: Distribución de Erlang con parámetro de forma k.
G: Distribución general (cualquier distribución).
– Número de servidores: Compuertas de servicio abiertas y disponibles para procesar clientes. Son esenciales en la definición estructural de cada modelo de colas.
De esta forma se definen los modelos de colas, tomando primero las iniciales en mayúsculas de la distribución del tiempo de llegada y la distribución del tiempo de servicio. Por último se estudia el número de servidores.
Un ejemplo bastante común es el M M 1, que se refiere a una distribución de tiempo de llegada y servicio del tipo exponencial, mientras se trabaja con un único servidor.
Otros tipos de modelos de colas son M M s, M G 1, M E 1, D M 1, entre otros.
Existen varios tipos de sistemas de colas donde múltiples variables sirven de indicadores del tipo de sistema presentado. Pero fundamentalmente lo rigen el número de colas y el número de servidores. También se aplica la estructura lineal a la cual es sometido al usuario para hacerse con el servicio.
– Una cola y un servidor. Es la estructura habitual, donde el usuario a través del sistema de llegada ingresa a la cola, donde luego de cumplir su espera según la disciplina de la cola, y pasa a ser procesado por el único servidor.
– Una cola y múltiples servidores. El usuario, al terminar su tiempo de espera, puede acudir a distintos servidores que pueden ser ejecutantes de los mismos procesos, como también pueden ser particulares para distintos procedimientos.
– Varias colas y múltiples servidores. La estructura puede estar dividida para distintos procesos o servir como canal amplio para cubrir una demanda alta de servicio común.
– Una cola con servidores secuenciales. Los usuarios pasan por distintas etapas. Ingresan y toman puesto en la cola, y al ser atendidos por el primer servidor, pasan a una nueva etapa que requiere previos cumplimientos efectuados en el primer servicio.
– λ : Este símbolo (Lambda) representa en la teoría de colas al valor esperado de entradas por intervalo de tiempo.
– 1/λ : Corresponde al valor esperado entre los tiempos de llegada de cada usuario que ingresa al sistema.
– μ : El símbolo Mu corresponde al número esperado de clientes que completan el servicio por unidad de tiempo. Esto se aplica para cada servidor.
– 1/μ : Tiempo de servicio esperado por el sistema.
– ρ : El símbolo Rho denota el factor de utilización del servidor. Sirve para medir que porción de tiempo estará ocupado el servidor procesando usuarios.
ρ= λ/sμ
Si p > 1 el sistema será transitorio, tenderá a crecer, debido a que la tasa de utilidad del servidor está por debajo de la entrada de usuarios al sistema.
Si p 1 el sistema se mantendrá estable.
Fue creada con el fin de optimizar los procesos de prestaciones de servicio telefónico. Esto demarca una utilidad con respecto a los fenómenos de líneas de espera, donde se persigue reducir los valores de tiempo y anular cualquier tipo de re-trabajo o proceso redundante que ralentice el proceso de los usuarios y operadores.
A niveles más complejos, donde las variables de entrada y servicio toman valores mixtos, los cálculos realizados fuera de la teoría de colas son casi impensables. Las fórmulas aportadas por la teoría dieron apertura al cálculo avanzado dentro de esta rama.
– Pn: Valor referente a la probabilidad de que “n” unidades se encuentren dentro del sistema.
– Lq: Longitud de la cola o valor medio de usuarios en ella.
– Ls: Media de unidades en el sistema.
– Wq: Media de tasa de espera en la cola.
– Ws: Media de tasa de espera en el sistema.
– _λ: Promedio de clientes que ingresan al servicio.
– Ws (t): Valor referente a la probabilidad de que un cliente permanezca más de “t” unidades en el sistema.
– Wq (t): Valor referente a la probabilidad de que un cliente permanezca más de “t” unidades en la cola.
Un registro posee un solo servidor para procesar los pasaportes de los usuarios que acuden. Al registro acuden un promedio de 35 usuarios por hora. El servidor tiene la capacidad de atender 45 usuarios por hora. Se conoce previamente que los usuarios permanecen un promedio de 5 minutos en la cola.
Se quiere saber:
- Tiempo promedio que pasa cada usuario en el sistema
- Número promedio de clientes en la cola
Se tiene λ = 35/45 Clientes / minutos
μ = 45/60 clientes / minutos
Wq = 5 minutos
El tiempo promedio en el sistema se puede calcular con Ws
Ws = Wq + 1/μ = 5 minutos + 1,33 = 6,33 minutos
De esta forma se define el tiempo total que el usuario estará en el sistema, donde 5 minutos serán en la cola y 1,33 minutos con el servidor.
Lq = λ x Wq
Lq = (0,78 clientes minutos) x (5 minutos) = 3,89 clientes
En la cola puede haber más de 3 clientes simultáneamente.
- Dirección de operaciones. Editorial Vértice, 16 abr. 2007
- Teoría de colas o línea de espera. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
- Problemas resueltos de teoría de sistemas. Roberto Sanchis Llopis. Publicacions de la Universitat Jaume I, 2002
- Métodos cuantitativos de organización industrial II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Leyes, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. de Catalunya, 2009
- Teoría de inventario y su aplicación. Editorial Pax-México, 1967