Flujo de campo eléctrico: fórmula y unidades, ejemplos, ejercicios
¿Qué es el flujo de campo eléctrico?
El flujo de campo eléctrico o simplemente flujo eléctrico es una cantidad escalar proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie. Se denota mediante la letra griega mayúscula Φ (phi).
Realmente el campo eléctrico no “fluye” de la manera en que lo hace una corriente de agua, aunque las líneas de corriente del fluido se asemejan a las del campo eléctrico.
En la figura de arriba se muestra una superficie plana atravesada por un campo eléctrico E. Cuando el vector unitario normal a la superficie n y el campo E son paralelos, la cantidad de líneas de campo que atraviesa la superficie es máxima. Pero a medida que aumenta el ángulo θ entre n y E, el número de líneas que pasa por la superficie verde es menor.
Por otra parte, el flujo de campo eléctrico depende también de la magnitud de E, pues cuanto mayor sea esta, más líneas de campo atraviesan la superficie. Y desde luego, mientras mayor el área S de dicha superficie, también mayor el flujo, por lo que se establece la siguiente ecuación:
Φ = E∙Scosθ
Esta expresión es consistente con el producto escalar entre los vectores E y n:
Φ = (E • n)S
La unidad para el flujo de campo eléctrico en el Sistema Internacional de unidades SI es N.m2/C (newton x metro cuadrado/coulomb). Alternativamente, como el campo también se mide en V/m (voltio sobre metro), el flujo eléctrico queda en (V∙m).
Ejemplos
De acuerdo a la definición, el flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o igual a 0. El flujo de campo eléctrico es:
-Positivo cuando el ángulo θ entre E y n es menor que 90º, ya que el cos θ es mayor que cero.
-Negativo si dicho ángulo es mayor que 90º, porque entonces cos θ es menor que cero.
-Nulo cuando θ vale exactamente 90º, porque cos 90º = 0 y las líneas de campo en este caso son tangenciales a la superficie.
-Por otro lado, si el ángulo entre E y n es igual a 0, el flujo adquiere su valor máximo.
Estas posibilidades se muestran en la siguiente imagen:
Flujo de campo eléctrico en una superficie arbitraria
Anteriormente se determinó el flujo de campo eléctrico en el caso particular de un campo uniforme incidiendo sobre una superficie plana. Para una superficie de forma arbitraria S y/o un campo eléctrico no uniforme, el ángulo entre E y n puede variar de punto a punto.
En la siguiente figura hay dos ejemplos, a la izquierda una superficie curva y a la derecha una superficie cerrada.
En ambos casos, la superficie se divide en regiones mucho más pequeñas, de tamaño infinitesimal, llamadas dS, por las que atraviesa un flujo también infinitesimal dΦ:
dΦ = (E•n) dS = (Ecosθ) dS
El campo total se obtiene sumando todas estas contribuciones infinitesimales:
En el caso de las superficies cerradas, n apunta siempre hacia afuera, por ello el flujo tiene signo + cuando es saliente a S, ya que el ángulo entre E y n es menor a 90º, y signo − cuando el campo es entrante, porque entonces el ángulo entre E y n es mayor a 90º (ver figura 2).
Nótese que en la superficie cerrada de la derecha, el número de líneas de campo que entra a la superficie es igual al número de líneas que sale. Por lo tanto el flujo neto, definido como la suma algebraica del flujo entrante y el flujo saliente, es nulo.
La fuente de campo eléctrico en este caso está fuera de la superficie, sin embargo, el flujo neto sería distinto de 0 si la fuente del campo eléctrico (la distribución de cargas) estuviera en el interior de la superficie.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se tiene un campo eléctrico E = 3.5 kN/C x y una superficie rectangular plana de 0.35 m de ancho por 0.7 m de largo. Hallar el flujo de campo eléctrico que atraviesa el rectángulo en los siguientes casos:
a) La superficie es paralela al plano yz.
b) El rectángulo es paralelo al plano xy.
c) La normal del plano forma un ángulo de 40º con el eje x y contiene al eje y.
Solución a
El vector normal y el vector campo eléctrico son paralelos, por lo tanto el ángulo θ entre ambos es 0º y el flujo eléctrico es:
Φ = (E∙S) cos 0 = E∙S
El área S del rectángulo es:
S = 0.35 m x 0.7 m = 0.245 m2
Sustituyendo en Φ:
Φ = E∙S = 3.5 x 103 N/C × 0.245 m2 = 857.5 N ∙m2 /C.
Solución b
El flujo de campo eléctrico es 0, ya que los vectores E y n son perpendiculares entre sí.
Solución c
El ángulo θ entre el campo E y el vector normal n es 40º (ver figura), por lo tanto:
Φ = E∙S ∙ cos θ = 3.5 x 103 N/C × 0.245 m2 × cos 40º = 656.9 N ∙m2 /C.
Ejercicio 2
Calcular el flujo de campo eléctrico que produce una carga puntual positiva qo = 2μC localizada en el centro de una esfera de radio R = 5 cm.
Solución
El campo producido por la carga qo no es uniforme, pero a partir de la ley de Coulomb se sabe que en la superficie de la esfera, tiene una magnitud de:
El campo tiene dirección radial, y el vector normal n, por lo tanto el ángulo entre ambos vectores es 0 en todo punto de la superficie esférica. Sustituyendo en:
Se tiene que:
La integral de dS sobre toda la superficie esférica S es el área de la misma, la cual es 4πR2, por lo tanto:
Su valor es:
Φ = 4π × 9 × 109 x 2 × 10-6 N⋅m2/C = 2.3 x 105 N⋅m2/C
Referencias
- Bauer, W. 2011. Física para Ingeniería y Ciencias. Volumen 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. (2005). Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 5. Electrostática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- Giambattista, A. 2010. Physics. 2nd. Ed. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume 1. Pearson.