Matemáticas

Eventos mutuamente excluyentes: propiedades y ejemplos

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes, cuando ambos no pueden ocurrir simultáneamente en el resultado de una experimentación. También se conocen como eventos incompatibles.

Por ejemplo al dejar rodar un dado, pueden separarse los posibles resultados como: Números impares o pares. Donde cada uno de estos eventos excluye al otro (No puede salir un número par e impar a su vez).

Retomando el ejemplo de los dados, solo una cara quedara hacia arriba y obtendremos un dato entero entre uno y seis. Esto es un evento simple ya que solo tiene una posibilidad de resultado. Todos los eventos simples son mutuamente excluyentes al no admitir otro suceso como posibilidad.

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¿En qué consisten los eventos mutuamente excluyentes?

Surgen como resultado de operaciones efectuadas en la Teoría de conjuntos, donde grupos de elementos constituidos en conjuntos y sub-conjuntos, se agrupan o demarcan según factores relacionales; Unión ( U ), intersección ( ∩ ) y complemento ( ‘ ) entre otros.

Pueden ser tratados desde distintas ramas (matemática, estadística, probabilidad y lógica entre otros…) pero su composición conceptual será siempre la misma.

¿Qué son los eventos?

Son posibilidades y sucesos resultantes de una experimentación, capaces de ofrecer resultados en cada una de sus iteraciones. Los eventos generan los datos a registrar como elementos de conjuntos y sub conjuntos, las tendencias en estos datos son motivo de estudio para la probabilidad.

Son ejemplos de eventos:

  • La moneda señaló cara.
  • El partido resulto en empate.
  • El químico reaccionó en 1.73 segundos.
  • La velocidad en el punto máximo fue de 30 m/s.
  • El dado marcó el número 4.

Dos eventos mutuamente excluyentes también pueden considerarse como eventos complementarios, si estos abarcan el espacio muestral con su unión. Cubriendo así todas las posibilidades de un experimento.

Por ejemplo el experimento basado en lanzar una moneda, posee dos posibilidades cara o cruz, donde estos resultados abarcan la totalidad del espacio muestral. Estos sucesos son incompatibles entre sí y al mismo tiempo son colectivamente exhaustivos.

Todo elemento dual o variable de tipo booleano es parte de los eventos mutuamente excluyentes, siendo esta característica la clave para definir su naturaleza. La ausencia de algo rige su estado, hasta que este se presente y deje de estar ausente. Bajo el mismo principio operan las dualidades de bien o mal, acertado y errado. Donde cada posibilidad se define por excluir a la otra.

Propiedades de los eventos mutuamente excluyentes:

Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes entre si

  1. A ∩ B = B ∩ A = ∅
  2. Si A = B’ son eventos complementarios y A U B = S (Espacio muestral)
  3. P( A ∩ B) = 0 ; La probabilidad de ocurrencia simultanea de estos eventos es nula

Recursos como el diagrama de Venn facilitan notablemente la clasificación de eventos mutuamente excluyentes entre otros, ya que permite visualizar por completo la magnitud de cada conjunto o subconjunto.

Los conjuntos que no posean eventos comunes o simplemente estén separados, serán considerados como incompatibles y mutuamente excluyentes.

Ejemplo de eventos mutuamente excluyentes

A diferencia de lanzar una moneda en el siguiente ejemplo se tratan los eventos desde un enfoque no experimental, con el fin de poder identificar los patrones de la lógica proposicional en los eventos cotidianos.

Un campamento vacacional cuenta con 6 módulos para clasificar a sus participantes. Las divisiones están basadas en las variables género y edad, quedando estructurado de la siguiente manera.

  • El primero, conformado por varones de edades entre los 5 y 10 años, tiene 8 participantes.
  • El segundo, hembras entre los 5 y 10 años, con 8 participantes.
  • El tercero, varones de edades entre 10 y 15 años, con 12 participantes.
  • El cuarto, hembras de edades entre 10 y 15 años, con 12 participantes.
  • El quinto, varones entre los 15 y 20 años, tiene 10 participantes.
  • El sexto grupo, conformado por hembras entre 15 y 20 años, con 10 participantes.

Durante el campamento se realizan 4 eventos, cada uno con premiación, estos son:

  1. Ajedrez, un solo evento para todos los participantes, ambos sexos y todas las edades.
  2. Yincana infantil, ambos sexos hasta los 10 años. Un premio por cada género
  3. Fútbol femenino, para edades entre 10 y 20 años. Un premio
  4. Fútbol masculino, para edades entre 10 y 20 años. Un premio

Se procede a estudiar cada premio como evento por separado, y así denotar el carácter de cada módulo en relación a la premiación correspondiente.

1-Ajedrez: Es abierto para todos los participantes, tratándose también de un evento simple. No existe condición en el ajedrez que haga necesario sectorizar el evento.

  • Espacio muestral: 60 participantes
  • Número de iteraciones: 1
  • No excluye ningún módulo del campamento.
  • Las posibilidades del participante son ganar el premio o no ganarlo. Esto convierte a cada posibilidad en mutuamente excluyente para todos los participantes.
  • Sin atender a las cualidades individuales de los participantes, la probabilidad de éxito de cada uno es P(e)= 1/60.
  • La probabilidad de que el ganador sea varón o hembra es igual; P (v) = P (h) = 30/60 = 0,5    Siendo estos eventos mutuamente excluyentes y complementarios.

2-Yincana infantil: En este evento existen restricciones de edad, las cuales limitan al grupo de participantes a 2 módulos (1er y 2do grupo).

  • Espacio muestral: 18 participantes
  • Número de iteraciones: 2
  • El tercer, cuarto, quinto y sexto módulo quedan excluidos de este evento.
  • El primer y segundo grupo son complementarios dentro de la premiación. Debido a que la unión de ambos grupos es igual al espacio muestral.
  • Sin atender a las cualidades individuales de los participantes, la probabilidad de éxito de cada uno es P(e)= 1/8
  • La probabilidad de haber ganador varón o hembra es 1 debido a que se realizará un evento para cada género.

3-Fútbol femenino: Este evento tiene restricciones de edad y género, limitando la participación a solo el cuarto y sexto grupo. Se realizará un solo partido de 11 contra 11

  • Espacio muestral: 22 participantes
  • Número de iteraciones: 1
  • El primero, segundo, tercero y quinto módulo quedan excluidos de este evento.
  • Sin atender a las cualidades individuales de los participantes, la probabilidad de éxito de cada una es P(e)= 1/2
  • La probabilidad de haber ganador varón es cero.
  • La probabilidad de haber ganador hembra es uno.

4-Fútbol masculino: Este evento tiene restricciones de edad y género, limitando la participación a solo el tercer y quinto grupo. Se realizará un solo partido de 11 contra 11

  • Espacio muestral: 22 participantes
  • Número de iteraciones: 1
  • El primero, segundo, cuarto y sexto módulo quedan excluidos de este evento.
  • Sin atender a las cualidades individuales de los participantes, la probabilidad de éxito de cada uno es P(e)= 1/2
  • La probabilidad de haber ganador hembra es cero.
  • La probabilidad de haber ganador varón es uno.

Referencias

  1. THE ROLE OF STATISTICAL METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND BIOINFORMATICS. Irina Arhipova. Latvia University of Agriculture, Latvia. irina.arhi[email protected]
  2. Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. Colin G.G. Aitken. School of Mathematics. The University of Edinburgh, UK
  3. BASIC PROBABILITY THEORY, Robert B. Ash. Department of Mathematics. University of Illinois
  4. Elementary STATISTICS. Tenth Edition. Mario F. Triola. Boston San.
  5. Mathematics and Engineering in Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, D. C. 20234
  6. Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.
    F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies