Vector resultante: cálculo, ejemplos, ejercicios
El vector resultante es el que se obtiene mediante una operación con vectores cuyo resultado también es un vector. Normalmente esta operación es la suma de dos o más vectores, mediante la cual se obtiene un vector cuyo efecto es equivalente.
De tal manera se obtienen vectores tales como la velocidad, la aceleración o la fuerza resultantes. Por ejemplo cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas F1, F2, F3,…. la suma vectorial de todas estas fuerzas equivale a la fuerza neta (la resultante), que matemáticamente se expresa así:
F1 + F2 + F3 +… = FR o FN
El vector resultante, ya sea que se trate de fuerzas o de cualquier otra magnitud vectorial, se encuentra aplicando las reglas de la suma de vectores. Como los vectores tienen dirección y sentido además de valor numérico, no es suficiente con sumar los módulos para tener el vector resultante.
Esto es cierto únicamente en el caso en que los vectores involucrados estén en la misma dirección (ver ejemplos). De lo contrario es preciso emplear métodos de suma vectorial, que según el caso pueden ser geométricos o analíticos.
Índice del artículo
Los métodos geométricos para encontrar el vector resultante son el método de la poligonal y el método del paralelogramo.
En cuanto a los métodos analíticos está el método de las componentes, mediante el cual puede hallarse el vector resultante de cualquier sistema de vectores, con tal de que dispongamos de sus componentes cartesianas.
Supongamos los vectores u y v (los denotamos en negritas para distinguirlos de los escalares). En la figura 2a) los tenemos ubicados sobre el plano. En la figura 2 b) se ha trasladado al vector v de tal manera que su origen coincida con el final de u. El vector resultante va del origen del primer (u) a la punta del último (v):
La figura que resulta en este caso es un triángulo (un triángulo es un polígono de 3 lados). Si tenemos dos vectores en la misma dirección, el procedimiento es el mismo: colocar uno de los vectores después del otro y trazar uno que va del origen o cola del primero hasta la punta o extremo del último.
Nótese que el orden en que se haga este procedimiento no tiene importancia, ya que la suma de vectores es conmutativa.
También nótese que en este caso el módulo (la longitud o tamaño) del vector resultante sí es la suma de los módulos de los vectores sumandos, a diferencia del caso anterior, en el cual el módulo del vector resultante es menor que la suma de los módulos de los participantes.
Método del paralelogramo
Este método es muy apropiado cuando se necesita sumar dos vectores cuyos puntos de origen coincidan digamos, con el origen de un sistema de coordenadas x-y. Supongamos que este es el caso de nuestros vectores u y v (figura 3a):
En la figura 3b) se ha construido un paralelogramo con ayuda de líneas punteadas paralelas a u y a v. El vector resultante tiene su origen en O y su final en el punto donde se intersectan las líneas punteadas. Este procedimiento es completamente equivalente al descrito en la sección precedente.
Dados los siguientes vectores, encuentre el vector resultante empleando el método de la poligonal.
Solución
El método de la poligonal es el primero de los métodos vistos. Recuérdese que la suma de vectores es conmutativa (el orden de los sumandos no altera la suma), así que se puede empezar por cualquiera de los vectores, por ejemplo u (figura 5a) o r (figura 5b):
La figura obtenida es un polígono y el vector resultante (en azul) se denomina R. Si se comienza con otro vector la figura que se forma puede ser distinta, tal como se aprecia en el ejemplo, pero el vector resultante es el mismo.
En la siguiente figura se sabe que los módulos de los vectores u y v respectivamente son u = 3 unidades arbitrarias y v = 1.8 unidades arbitrarias. El ángulo que u forma con el eje x positivo es 45 º, mientras que v forma 60 º con el eje y, tal y como se ve en la figura. Encontrar el vector resultante, magnitud y dirección.
Solución
En la sección precedente el vector resultante se encontró aplicando el método del paralelogramo (en turquesa en la figura).
Una forma sencilla de encontrar el vector resultante analíticamente es expresar los vectores sumandos en términos de sus componentes cartesianas, lo cual es tarea fácil cuando se conocen módulo y ángulo, tal como los vectores de este ejemplo:
ux = u . cos 45º = 3 x cos 45 º = 2.12; uy = u . sen 45 º = 3x sen 45º = 2.12
vx = v . sen 60º = 1.8 x sen 60 º = 1.56; vy = -v . cos 60 º = -1.8 x cos 60º = – 0.9
Los vectores u y v son vectores pertenecientes al plano, teniendo por los tanto dos componentes cada uno. El vector u está en el primer cuadrante y sus componentes son positivas, mientras que el vector v se encuentra en el cuarto cuadrante; su componente x es positiva, pero su proyección sobre el eje vertical cae en el eje y negativo.
Cálculo de las componentes cartesianas del vector resultante
El vector resultante se encuentra sumando algebraicamente las respectivas componentes x y y, para obtener sus componentes cartesianas:
Rx = 2.12 + 1.56 = 3.68
Ry = 2.12 + (-0.9) = 1.22
Una vez especificadas las componentes cartesianas ya el vector se conoce completamente. El vector resultante puede expresarse con la notación en corchetes (brackets):
R = 3.68; 1.22> unidades arbitrarias
La notación con corchetes se utiliza para distinguir a un vector de un punto en el plano (o en el espacio). Otra forma de expresar el vector resultante en forma analítica es mediante el uso de los vectores unitarios i y j en el plano (i, j y k en el espacio):
R = 3.68 i + 1.22 j unidades arbitrarias
Puesto que ambas componentes del vector resultante son positivas, el vector R pertenece al primer cuadrante, lo cual ya se había visto en forma gráfica anteriormente.
Magnitud y dirección del vector resultante
Conocidas las componentes cartesianas, la magnitud de R se calcula a través del teorema de Pitágoras, ya que el vector resultante R, junto a sus componentes Rx y Ry forman un triángulo rectángulo:
Magnitud o módulo: R = (3.682 + 1.222)½ = 3.88
Dirección q tomando el eje x positivo como referencia: q=arctan (Ry / Rx) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º
- Adding Vectors and Rules. Recobrado de: newt.phys.unsw.edu.au
- Figueroa, D. Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. Cinemática.31-68.
- Física. Módulo 8: Vectores. Recobrado de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mecánica para Ingenieros. Estática. 6ta Edición. Compañía Editorial Continental. 15-53.
- Vector Addition Calculator. Recobrado de: www.1728.org