Eventos independientes: demostración, ejemplos, ejercicios
Dos eventos son independientes, cuando la probabilidad de que suceda uno de ellos, no está influenciada por el hecho de que el otro ocurra -o no ocurra-, considerando que dichos eventos ocurren al azar.
Esta circunstancia se da siempre que el proceso que genera el resultado del evento 1, no altere de ninguna manera la probabilidad de los posibles resultados del evento 2. Pero si no sucede así, se dice que los eventos son dependientes.
Una situación de eventos independientes es la siguiente: suponga que se lanzan dos dados de seis caras, uno azul y el otro rosado. La probabilidad de que salga un 1 en el dado azul, es independiente de la probabilidad de que salga un 1 -o no salga- en el dado rosado.
Otro caso de dos eventos independientes es el de lanzar una moneda dos veces seguidas. El resultado del primer lanzamiento no dependerá del resultado del segundo y viceversa.
Índice del artículo
- 1 Demostración de dos eventos independientes
- 2 Criterios para conocer si dos eventos son independientes
- 3 Ejemplos de eventos independientes
- 4 Convertir un evento independiente en uno dependiente
- 5 Ejercicios
- 6 Referencias
Para comprobar que dos eventos son independientes, pasaremos a definir el concepto de probabilidad condicionada de un evento respecto de otro. Para esto es necesario diferenciar entre eventos excluyentes y eventos incluyentes:
Dos eventos son excluyentes si los posibles valores o elementos del evento A, no tienen nada en común con los valores o elementos del evento B.
Por lo tanto en dos eventos excluyentes, el conjunto de la intersección de A con B es el vacío:
Eventos excluyentes: A∩B = Ø
Por el contrario, si los eventos son incluyentes, puede ocurrir que un resultado del evento A también coincide con el de otro B, siendo A y B eventos diferentes. En este caso:
Eventos incluyentes: A∩B ≠ Ø
Esto nos lleva a definir la probabilidad condicionada de dos eventos incluyentes, en otras palabras, la probabilidad de ocurrencia del evento A, siempre que ocurra el evento B:
P(A¦B) = P(A∩B)/P(B)
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es la probabilidad que ocurra A y B dividida entre la probabilidad que ocurra B. También puede definirse la probabilidad que ocurra B condicionada a A:
P(B¦A) = P(A∩B)/P(A)
A continuación daremos tres criterios para saber si dos eventos son independientes. Basta con que se cumpla uno de los tres, para que la independencia de eventos quede demostrada.
1.- Si la probabilidad de que ocurra A siempre que ocurra B es igual a la probabilidad de A, entonces se trata de eventos independientes:
P(A¦B) = P(A) => A es independiente de B
2.- Si la probabilidad que ocurra B dado A, es igual a la probabilidad de B, entonces se tienen eventos independientes:
P(B¦A) = P(B) => B es independiente de A
3.- Si la probabilidad que ocurra A y B, es igual al producto de la probabilidad que ocurra A por la probabilidad que ocurra B, entonces se trata de eventos independientes. El recíproco también es cierto.
P(A∩B) = P(A) P(B) => A y B son eventos independientes.
Se comparan las suelas de goma producidas por dos proveedores diferentes. Las muestras de cada fabricante se someten a varios ensayos a partir de los cuales se concluyen si están o no dentro de las especificaciones.
El resumen resultante de las 252 muestras es el siguiente:
Fabricante 1; 160 sí cumplen especificaciones; 8 no cumplen especificaciones.
Fabricante 2; 80 sí cumplen especificaciones; 4 no cumplen especificaciones.
Evento A: “que la muestra sea del fabricante 1”.
Evento B: “que la muestra cumpla las especificaciones”.
Se desea saber si estos eventos A y B son o no son independientes, para lo cual aplicamos uno de los tres criterios mencionados en el apartado anterior.
Criterio : P(B¦A) = P(B) => B es independiente de A
P(B) = 240/252 = 0.9523
P(B¦A) = P(A ⋂ B)/P(A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523
Conclusión: Los eventos A y B son independientes.
Supongamos un evento C: “que la muestra provenga del fabricante 2”
¿Será el evento B independiente del evento C?
Aplicamos uno de los criterios.
Criterio : P(B¦C) = P(B) => B es independiente de C
P(B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P(B)
Por lo tanto, de acuerdo a los datos disponibles, la probabilidad de que una suela de goma elegida al azar cumpla las especificaciones, es independiente del fabricante.
Veamos el siguiente ejemplo para distinguir entre eventos dependientes e independientes.
Tenemos una bolsa con dos bolas de chocolate blancas y dos bolas negras. La probabilidad de sacar una bola blanca o una negra es igual en el primer intento.
Supongamos que el resultado fue bola blanca. Si la bola extraída se repone en la bolsa, la situación original se repite: dos bolas blancas y dos bolas negras.
De modo que en un segundo evento o extracción, las posibilidades de sacar una bola blanca o una bola negra son idénticas a las de la primera vez. Se trata pues de eventos independientes.
Pero si no se repone la bola blanca extraída en el primer evento porque nos la hemos comido, en la segunda extracción hay mayores posibilidades de sacar una bola negra. La probabilidad de que en una segunda extracción se obtenga nuevamente blanca, es diferente a la del primer evento y está condicionada por el resultado anterior.
En una caja ponemos las 10 canicas de la figura 1, de las cuales 2 son verdes, 4 azules y 4 blancas. Se van a escoger dos canicas al azar, una primero y otra después. Se pide hallar la
probabilidad de que ninguna de ellas sea azul, bajo las siguientes condiciones:
a) Con reemplazo, esto es, regresando a la caja la primera canica antes de la segunda selección. Indicar si se trata de eventos independientes o dependientes.
b) Sin reemplazo, de tal forma que la primera canica extraída, queda fuera de la caja al momento de hacer la segunda selección. De igual manera, señalar si son eventos dependientes o independientes.
Solución a
Calculamos la probabilidad de que la primera canica extraída no sea azul, la cual es 1 menos la probabilidad de que sí sea azul P(A), o bien directamente que no sea azul, porque salió verde o blanca:
P(A) = 4/10 = 2/5
P (no sea azul) = 1 – (2/5) = 3/5
O bien:
P(verde o blanca) = 6/10 = 3/5.
Si se regresa la canica extraída, todo vuelve a estar como antes. En esta segunda extracción también hay 3/5 de probabilidad de que la canica extraída no sea azul.
P(no azul, no azul ) = (3/5). (3/5) = 9 /25.
Los eventos son independientes, ya que la canica extraída se regresó a la caja y el primer evento no influye en la probabilidad de ocurrencia del segundo.
Solución b
Para la primera extracción, se procede igual que en el apartado anterior. La probabilidad de que no sea azul es 3/5.
Para la segunda extracción tenemos 9 canicas en la bolsa, puesto que la primera no regresó, pero no fue azul, por lo tanto en la bolsa quedan 9 canicas y 5 no azules:
P(verde o blanca) = 5 /9.
P(ninguna sea azul) = P(primera no azul). P(segunda no azul /primera no fue azul) = (3/5) . (5 /9) = 1/3
En este caso no se trata de eventos independientes, ya que el primer evento condiciona al segundo.
Una tienda dispone de 15 camisas en tres tamaños: 3 pequeñas, 6 medianas y 6 grandes. Se seleccionan al azar 2 camisas.
a) ¿Qué probabilidad hay que ambas camisas seleccionadas sean pequeñas, si primero se saca una y sin reemplazar en el lote se saca otra?
b) ¿Qué probabilidad hay que ambas camisas seleccionadas sean pequeñas, si primero se saca una, se reemplaza en el lote y se saca la segunda?
Solución a
Acá hay dos eventos:
Evento A: la primera camisa seleccionada es pequeña
Evento B: la segunda camisa seleccionada es pequeña
La probabilidad que se de el evento A es: P(A) = 3/15
La probabilidad que se de el evento B es: P(B) = 2/14, porque ya se había extraído una camisa (quedan 14), pero además se quiere que se cumpla el evento A la primera camisa extraída debe ser pequeña y por tanto quedan 2 pequeñas.
Es decir la probabilidad que se de A y B será el producto de las probabilidades es:
P(A y B) = P(B¦A) P(A) = (2/14) (3/15) = 0.029
Por lo tanto, la probabilidad de que se de el evento A y B es igual al producto de que se de el evento A, por la probabilidad que se de el evento B si se dió el evento A.
Debe notarse que:
P(B¦A) = 2/14
La probabilidad que se de el evento B independientemente de que se dé o no el evento A será:
P(B) = (2/14) si la primera fue pequeña, o P(B) = 3/14 si la primera no fue pequeña.
En general puede concluirse lo siguiente:
P(B¦A) no es igual a P(B) => B no es independiente de A
Solución b
De nuevo hay dos eventos:
Evento A: la primera camisa seleccionada es pequeña
Evento B: la segunda camisa seleccionada es pequeña
P(A) = 3/15
Recuerde que sea cual sea el resultado, se reemplaza la camisa extraída del lote y de nuevo se saca al azar una camisa. La probabilidad que se de el evento B, si se dió el evento A es:
P(B¦A) = 3/15
La probabilidad que se den los eventos A y B será:
P(A y B) = P(B¦A) P(A) = (3/15) (3/15) = 0.04
Nótese que:
P(B¦A) es igual a P(B) => B es independiente de A.
Considere dos eventos independientes A y B. Se sabe que la probabilidad que ocurra el suceso A es 0,2 y la probabilidad que ocurra el suceso B es 0,3. ¿Cuál será la probabilidad que ocurran ambos sucesos?
Solución 2
Al saber que los sucesos son independientes, se sabe que la probabilidad que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades individuales. Es decir,
P(A∩B) = P(A) P(B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Note que es una probabilidad bastante menor que la probabilidad de que cada suceso ocurra sin importar el resultado del otro. O dicho de otra manera, mucho menor que las probabilidades individuales.
- Berenson, M. 1985. Estadística para administración y economía. Interamericana S.A. 126-127.
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- Superprof. Tipos de sucesos, sucesos dependientes. Recuperado de: superprof.es
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