Movimiento armónico simple: qué es, explicación, fórmulas, ejemplos

¿Qué es el movimiento armónico simple?

El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio, en el que la posición cambia con el transcurso del tiempo siguiendo una función cosenoidal o senoidal. Ambos tipos de funciones son apropiadas.

La mayor parte de las oscilaciones siguen la ley armónica, siempre que su amplitud sea pequeña. Por el contrario, cuando la amplitud de oscilación es grande, el movimiento tiende a ser anarmónico y no sigue la ley cosenoidal.

Es el caso de un péndulo: mientras la amplitud de oscilación sea de unos pocos grados respecto de la posición de equilibrio, su oscilación es armónica. Por lo tanto, la frecuencia o el periodo de oscilación es constante y no depende de la amplitud o rango de la oscilación. 

En otras palabras, el tiempo que le toma al péndulo en ir y volver, es el mismo si originalmente el péndulo se aparta del equilibrio 1 grado o 10 grados. Por encima de los 15 grados de amplitud, el comportamiento del péndulo deja de ser armónico, y el tiempo de ida y vuelta dependerá de la amplitud máxima de oscilación.

Debido a esta propiedad de las oscilaciones armónicas del péndulo, estos se utilizan para sincronizar apropiadamente los tradicionales relojes de pared. 

En cambio, en los relojes electrónicos modernos, el tiempo se calibra con la oscilación armónica y constante de los electrones dentro de un cristal de cuarzo, insertado en el circuito del reloj.

Es característico del movimiento armónico que el período o la frecuencia de oscilación sea independiente de la amplitud (o rango) de la oscilación. En contraste, la frecuencia de oscilación de las oscilaciones no-armónicas sí cambia con la amplitud de la oscilación.

Ejemplos de oscilaciones en la vida cotidiana

En la vida cotidiana existen movimientos oscilatorios que pueden ser descritos como el movimiento armónico simple de uno de sus puntos, tales como:

1. La oscilación de un objeto colgado al extremo de una cuerda.
2. La oscilación de la campana de una iglesia.
3. El péndulo de un reloj de pared.
4. La oscilación de un peso sujeto al extremo de un resorte o muelle, alejado de su posición de equilibrio.
5. El vaivén del columpio en el parque infantil.
6. La vibración de un martillo neumático con el que se quiebra el concreto de las calles.
7. El movimiento oscilatorio de las alas de un pájaro en vuelo.
8. Las vibraciones del corazón.
9. La vibración de un punto sobre la cuerda de una guitarra.
10. El sube y baja de una boya que flota sobre el mar.

Fórmulas y relaciones del movimiento armónico simple

Para describir el movimiento oscilatorio armónico de un punto sobre una recta horizontal, se define sobre la misma un origen (de valor cero) y una orientación positiva hacia la derecha.

En este caso, la posición viene dada por un número, como por ejemplo:

• Si el punto está en el origen, entonces su posición será x= 0.
• Cuando está 3 cm a la derecha, ocupa la posición x= 3cm
• Y si está a 5 cm a la izquierda del origen, está en x= -5cm.

En forma general, la posición x como función del instante de tiempo t de un punto que oscila armónicamente sobre el eje X, con centro de oscilación en el origen y amplitud A, está dada por la siguiente fórmula, que contiene la función trigonométrica coseno:

x(t)= A⋅Cos(ω⋅t + φ)

Donde, ω (omega) es la frecuencia angular de oscilación y φ (phi) la fase inicial del movimiento.

Frecuencia natural y frecuencia angular

En un movimiento armónico simple, se define la frecuencia de oscilación como el número de oscilaciones que se dan en determinada unidad de tiempo.

Por ejemplo, si la campana de una iglesia oscila 50 veces en 1 minuto, su frecuencia f se expresa así: 

f= 50 oscilaciones/minuto

La frecuencia de esa misma campana puede expresarse en oscilaciones por cada segundo de la siguiente manera:

f= 50 oscilaciones/60 segundos= ⅚ oscilaciones/s= 0,8333 Hz

La unidad de la frecuencia de oscilación en el Sistema Internacional de medidas (SI) es el hertzio (Hz) y se define como 1 oscilación por segundo.

La frecuencia de una emisora de radio FM es del orden de los 100 Megahertzios, esta es la frecuencia de oscilación de los electrones en la antena emisora.

Por otra parte, se define la frecuencia angularω como el producto de la frecuencia natural f multiplicada por el doble del número pi, es decir:

ω= 2π⋅f

En el caso del ejemplo de la campana de iglesia que oscila a 0,8333 Hz, su frecuencia angular será:

ω= 2π rad⋅5/6 Hz= 5/3π rad/s= 5,236 rad/s

Debe notarse que mientras la frecuencia natural f se mide en hertzios (Hz), mientras que la frecuencia angular ω se mide en radianes sobre segundo (rad/s).

El periodo

El periodo es el tiempo en el que se da una oscilación completa. Para calcularlo basta dividir el tiempo t en el que se completan N oscilaciones y el resultado es el periodo T del oscilador armónico.

Por ejemplo, si la campana de la iglesia hace 50 oscilaciones en un minuto, entonces para obtener el periodo T se divide 1min entre 50 oscilaciones y el resultado es:

T= 1 min / 50 osc = 1/50 min= 0,02 min.

Para expresar el periodo en segundos se convierten los minutos a segundos de la siguiente forma:

T= 60s / 50 osc = 6/5 min= 1,2 s

Péndulo simple

Un péndulo simple consiste en una cuerda sujeta por un extremo a un punto fijo y del otro cuelga un objeto de masa M, que puede oscilar. Si la amplitud de las oscilaciones del péndulo no sobrepasan los 15 grados, se tienen entonces oscilaciones armónicas, cuya frecuencia angular solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la aceleración de gravedad local.

La frecuencia angular ω de un péndulo simple de longitud L en un lugar donde la aceleración de gravedad es g viene dada por la siguiente relación:

ω= √(g / L)

Y su periodo viene dado por:

T= 2π⋅√(L / g)

Sistema masa-resorte

Consiste en una masa M sujeta al extremo de un resorte de constante elástica k. La frecuencia angular del sistema masa resorte está dada por la siguiente fórmula:

ω= √(k / M)

Mientras que el periodo de dicho sistema es:

T= 2π⋅√(M / k)

Ejercicio resuelto

Hallar la longitud de un péndulo tal, que si se le cuelga una masa de 1Kg en su extremo libre y se aparte del punto de equilibrio 5 grados, sus oscilaciones duren exactamente 1 segundo de duración. Se sabe que la aceleración de gravedad del lugar es 9,8 m/s².

Solución

Como la amplitud de la oscilación es menor de 15 grados, se sabe que el periodo no depende del ángulo máximo de oscilación ni del valor de la masa colgada, puesto que es un movimiento armónico simple.

La relación entre el periodo al cuadrado y la longitud en un péndulo simple es:

T² = (2π)²⋅L / g

Mediante un simple despeje se obtiene:

L = g⋅(T/2π)²

Al sustituir el periodo T por su valor de 1 s y usando el valor local de g, se tiene que la longitud del péndulo es L= 0,248m≃ 25 cm, tal como puede comprobar el lector.