Probabilidad clásica: cálculo, ejemplos, ejercicios resueltos
La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la probabilidad de un evento. Se define como el cociente entre los eventos favorables a dicho evento y el total de eventos posibles, con la condición de que cada uno de estos eventos sean todos igualmente probables. A la probabilidad clásica también se la conoce como probabilidad a priori o probabilidad teórica.
El deseo de anticipar las cosas forma parte de la naturaleza humana en todas las épocas: todos nos preguntamos si lloverá al día siguiente o si determinado equipo de fútbol jugará o no en la primera división la próxima temporada. Existe evidencia arqueológica de que las personas jugaban juegos de azar hace unos 40.000 años.
Sin embargo, el primer libro acerca de las probabilidades se debe al astrónomo holandés Christian Huygens quién lo llamó Razonamientos relativos al juego de dados. Como vemos, la probabilidad clásica tiene sus orígenes en los juegos de azar.
El dado tiene una larga historia, se trata de una pieza cúbica cuyas caras están numeradas con puntos del uno al seis. Al lanzar una sola vez un dado honesto: ¿cuál es la probabilidad de que salga, digamos, un cinco?
Es muy sencillo: hay una sola cara entre las 6 marcada con cinco puntos, por lo tanto la probabilidad P es:
P = 1/6
Índice del artículo
- 1 Cálculo en probabilidad clásica
- 2 El espacio muestral y los eventos
- 3 Ejemplos de probabilidad clásica
- 4 Ejercicios resueltos
- 5 Referencias
Esta forma de calcular la probabilidad de un evento es una aplicación de la regla de Laplace, enunciada inicialmente en 1812 por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).
Sea A un evento del cual queremos conocer su probabilidad de ocurrencia P(A), entonces:
P(A) = número de casos favorables al evento A / número de casos posibles
El resultado de esta operación es siempre un número positivo entre 0 y 1. Si un evento tiene probabilidad 0 de ocurrir significa que no pasará.
En cambio, si la probabilidad de ocurrencia es igual a 1, quiere decir que sucederá de cualquier forma y en todo caso, la probabilidad de que un suceso ocurra, sumada con la probabilidad de que no ocurra, es igual a 1:
Evidentemente, en un dado legal, cualquiera de las 6 caras tiene la misma probabilidad de salir, por lo tanto la probabilidad de obtener una cara con 5 debe ser 1/6.
Un detalle importante es el siguiente: para aplicar la regla de Laplace el número de casos posibles tiene que ser finito, es decir, debemos poder contarlos y obtener un número natural.
En el ejemplo del dado hay 6 casos posibles y un solo evento favorable. Al conjunto de casos posibles se le denomina espacio muestral.
Al aplicar la regla de Laplace es conveniente analizar cuidadosamente el espacio muestral, incluyendo todos los sucesos posibles, es decir, que debe estar completo y ordenado, para que ningún suceso escape de ser contabilizado.
El espacio muestral suele denotarse mediante la letra S o la letra griega Ω (omega mayúscula) y fue un concepto introducido por Galileo.
Un jugador de dados le preguntó al sabio por qué es más difícil obtener un 9 lanzando tres dados que un 10, entonces Galileo calculó las formas posibles de obtener un 9, y luego hizo lo mismo con el 10. Por último calculó las respectivas probabilidades, encontrando que, en efecto, P (9) P (10).
Si el espacio muestral consta de pocos elementos, estos se listan como un conjunto. Por ejemplo, supongamos que se quiere encontrar la probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos sean del mismo sexo.
Podemos aplicar la probabilidad clásica determinando correctamente el espacio muestral. Si M = mujer y H = hombre, el espacio muestral de los hijos es:
S = {(M,M), (H,H), (M,H), (H,M)}
Cada elemento del espacio muestral es un evento, por ejemplo, el evento (M,M) significa que los dos hijos de esta familia son mujeres.
Teniendo el espacio muestral, calcular la probabilidad pedida es muy sencillo, ya que hay solo 2 casos favorables entre 4, para que ambos hijos sean del mismo sexo: (M,M) y (H,H), por lo tanto:
P (ambos hijos del mismo sexo) = 2/4 = 0.5
Cuando el espacio muestral consta de muchos elementos, es mejor dar una regla general para encontrarlo. Por ejemplo, si t es el tiempo de vida útil de un equipo, el espacio muestral es:
S = {t∕t ≥ 0}
Que se lee así: “todos los valores de t tales que t sea mayor o igual a 0”. Un evento de este espacio podría ser que el aparato tenga una vida útil de t = 2 años.
La probabilidad clásica se aplica siempre que se cumplan las dos premisas señaladas anteriormente, es decir:
-Todos los eventos son igualmente probables.
-El espacio muestral es finito.
Por lo tanto, hay situaciones en las cuales la probabilidad clásica no se puede aplicar, como por ejemplo cuando se quiere anticipar si un tratamiento nuevo curará una determinada enfermedad, o la probabilidad de que una máquina produzca artículos defectuosos.
En cambio, sí se puede aplicar con éxito en los siguientes casos:
Como hemos visto, la probabilidad de que salga determinada cara es igual a 1/6.
Tenemos un mazo de 52 cartas de una baraja francesa, que consta de cuatro palos: corazones, tréboles, diamantes y picas. Entonces la probabilidad de extraer un corazón, sabiendo que hay 13 cartas de cada palo es:
P (corazón) = 13/52
Se trata de un ejemplo típico de probabilidad clásica, ya que al lanzar una moneda siempre se tiene una probabilidad igual a ½ de obtener cara o sello.
Dentro de una bolsa puede haber N canicas de colores, por ejemplo hay R canicas rojas, A canicas azules y V canicas verdes. La probabilidad de extraer una roja es:
P(R) = R / N
Se lanza una vez un dado honesto. Calcular las siguientes probabilidades:
a) Sacar un número impar.
b) Que salga un 2 o un 5.
c) Sacar un valor menor que 4.
d) Obtener un valor menor o igual que 4.
e) Sacar un valor diferente de 3
Solución a
El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, los valores impares son 1, 3 y 5, por lo tanto de 6 casos posibles, hay tres casos favorables:
P (impar) = 3/6 =1/2 = 0.5
Solución b
Queremos extraer un 2 o un 5, es decir, cualquiera de estos casos es favorable, por lo tanto:
P (2 o 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33
Solución c
En este caso hay 3 eventos favorables: sacar 1, 2 o 3:
P (menor que 4) = 3/6 = ½ = 0.5
Solución d
Acá hay un evento favorable adicional, porque nos piden los valores menores o iguales que 4, entonces:
P (valor menor o igual que 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67
Solución e
Un lanzamiento diferente de 3, significa que salió cualquiera de los otros valores:
En una caja hay una pelota azul, una verde, una roja, una amarilla y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar con los ojos cerrados una pelota de la caja, esta sea amarilla?
Solución
El evento “E” es sacar una pelota de la caja con los ojos cerrados (si se hace con los ojos abiertos la probabilidad es 1) y que esta sea amarilla.
Solo hay un caso favorable, dado que solo hay una pelota amarilla. Los casos posibles son 5, puesto que hay 5 pelotas en la caja.
Por lo tanto, la probabilidad del evento “E” es igual a P(E) = 1 / 5.
Como se puede observar, si el evento es sacar una pelota azul, verde, roja o negra, la probabilidad también será igual a 1/5. Por lo tanto, este es un ejemplo de probabilidad clásica.
Observación
Si en la caja hubiese habido 2 pelotas amarillas entonces P(E) = 2/6 = 1/3, mientras que la probabilidad de sacar una pelota azul, verde, roja o negra hubiese sido igual a 1/6.
Como no todos los eventos tienen la misma probabilidad, entonces este no es un ejemplo de probabilidad clásica.
¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado obtenido sea igual a 5?
Solución
Un dado posee 6 caras, cada una con un número diferente (1,2,3,4,5,6). Por lo tanto, hay 6 casos posibles y solo un caso es favorable.
Entonces, la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga 5 es igual a 1/6.
Nuevamente, la probabilidad de obtener cualquier otro resultado del dado también es igual a 1/6.
En un salón de clases hay 8 niños y 8 niñas. Si la maestra escoge al azar un estudiante de su salón, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante escogido sea una niña?
Solución
El evento “E” es escoger un estudiante al azar. En total hay 16 estudiantes, pero como se quiere escoger una niña, entonces hay 8 casos favorables. Por lo tanto P(E) = 8/16 = 1/2.
También en este ejemplo, la probabilidad de escoger un niño es 8/16=1/2.
Es decir, que es tan probable que el estudiante escogido sea una niña como que sea un niño.
- Agosto, A. Probabilidad. Universidad de Puerto Rico. Recuperado de: docs.uprb.edu.
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