Relaciones de proporcionalidad: concepto, ejemplos y ejercicios
Las relaciones de proporcionalidad son vínculos entre dos o más variables, tales que cuando una de las cantidades varía, también lo hace el valor de las otras. Por ejemplo, si una aumenta, las otras pueden aumentar o pueden disminuir, pero en una cantidad uniforme.
Los antiguos matemáticos griegos se percataron de que algunas variables estaban relacionadas de cierta manera muy precisa. Se dieron cuenta de que si un círculo tiene el doble del diámetro que otro, tendrá una circunferencia con el doble de longitud.
Y si el diámetro se triplica, entonces el contorno de la circunferencia se triplicará también. Esto significa que un aumento en el diámetro produce un aumento proporcional en el tamaño de la circunferencia.
Y así podemos afirmar que la longitud de la circunferencia L es proporcional al diámetro D de la misma, lo cual se expresa del siguiente modo:
L ∝ D
Donde el símbolo ∝ se lee “directamente proporcional a”. Para cambiar el símbolo de proporcionalidad por el de la igualdad e incorporar valores numéricos, es preciso determinar el vínculo entre las variables, llamado constante de proporcionalidad.
Después de efectuar muchísimas mediciones, los antiguos matemáticos determinaron que la constante de proporcionalidad entre el tamaño L de la circunferencia, y el diámetro D de la misma, era el número 3.1416… Los puntos suspensivos indican una cantidad infinita de decimales.
Este valor no es otro que el del famoso número π (pi) y de esta manera escribimos:
L = π.D
De esta forma, la razón entre la longitud y diámetro de una circunferencia es la misma que la razón entre longitud y diámetro de otra. Y lo mejor es que ahora tenemos una forma de calcular la longitud de cualquier circunferencia con solo conocer su diámetro.
Índice del artículo
- 1 Ejemplos de relaciones de proporcionalidad
- 2 Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa
- 3 Otros tipos de proporcionalidad
- 4 Ejercicios
- 5 Referencias
En ciencia (y en la cotidianidad también) es muy importante encontrar relaciones entre las variables, para saber cómo los cambios en una de ellas afectan a la otra. Por ejemplo:
-Si para hacer una docena de galletas se necesitan 3 tazas de harina. ¿Cuántas tazas se necesitan para hacer 2 docenas y media?.
-Sabiendo que en el planeta Mercurio un objeto pesa 4 veces menos que en la Tierra, ¿cuánto pesará en Mercurio un automóvil de 1.5 toneladas?
-¿Cómo afecta el cambio en la fuerza aplicada en la aceleración del cuerpo sobre la que se aplica?
-Si un vehículo se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme por una autopista y sabemos que recorre 30 km en 10 minutos, ¿cuál será la distancia recorrida al cabo de 20 minutos?
-Cuando tenemos un alambre por el que atraviesa una corriente eléctrica, ¿cómo varía el voltaje entre sus extremos si aquella aumenta?
-Si se duplica el diámetro de un círculo ¿cómo se afecta su área?
-¿De qué forma afecta la distancia a la intensidad del campo eléctrico producido por una carga puntual?
La respuesta está en las relaciones de proporcionalidad, pero no todas las relaciones son del mismo tipo. Seguidamente las encontraremos para todas las situaciones planteadas aquí.
Dos variables x e y están en proporción directa si se relacionan mediante:
y = kx
Donde k es la constante de proporcionalidad. Un ejemplo es la relación existente entre las cantidades de harina y las galletas. Si graficamos estas variables se obtiene una línea recta como la que se muestra en la figura:
Si y son las tazas de harina y x las docenas de galletas, la relación entre ellas es:
y = 3x
Para x = 1 docena necesitamos y=3 tazas de harina. Y para x =2.5 docenas, se requieren y=7.5 tazas de harina.
Pero además tenemos:
-La aceleración a que experimenta un cuerpo es proporcional a la fuerza F que actúa sobre él, siendo la masa del cuerpo, llamada m, la constante de proporcionalidad:
F = ma
Por lo tanto, a mayor fuerza aplicada, mayor es la aceleración producida.
-En los conductores óhmicos, el voltaje V entre sus extremos es proporcional a la corriente I aplicada. La constante de proporcionalidad es la resistencia R del conductor:
V = RI
–Cuando un objeto se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, la distancia d es proporcional al tiempo t, siendo la rapidez v la constante de proporcionalidad:
d = v.t
A veces encontramos dos cantidades tales que un aumento en una produce una disminución proporcional en la otra. Esta dependencia se llama proporción inversa.
Por ejemplo, en la ecuación anterior, el tiempo t requerido para recorrer cierta distancia d, es inversamente proporcional a la rapidez v del recorrido:
t = d/v
Y así, mientras mayor es la rapidez v, menos tiempo se tarda el automóvil en recorrer la distancia d. Si por ejemplo la rapidez se duplica, el tiempo se reduce a la mitad.
Cuando dos variables x e y están en proporción inversa, podemos escribir:
y = k / x
Siendo k la constante de proporcionalidad. La gráfica de esta dependencia es:
En uno de los ejemplos mencionados antes, nos preguntábamos lo que sucede con el área del círculo cuando el radio aumenta. La respuesta es que el área es directamente proporcional al cuadrado del radio, siendo π la constante de proporcionalidad:
A = πR2
En caso que se duplique el radio el área se incrementará en un factor 4.
Y en el caso del campo eléctrico E producido por una carga puntual q, se sabe que la intensidad decrece con el inverso al cuadrado de la distancia r a la carga q:
E = ke q/r2
Pero también podemos afirmar que la intensidad del campo es directamente proporcional a la magnitud de la carga, siendo la constante de proporcionalidad ke, la constante electrostática.
Otras proporcionalidades que también se presentan en Ciencia son la proporcionalidad exponencial y la proporcionalidad logarítmica. En el primer caso las variables x e y se relacionan mediante:
y = k.ax
Donde a es la base, un número positivo diferente de 0, que usualmente es 10 o el número e. Por ejemplo el crecimiento exponencial de bacterias tiene esta forma.
En el segundo caso la relación entre las variables es:
y = k.loga x
Nuevamente a es la base del logaritmo, que frecuentemente es 10 (logaritmo decimal) o e (logaritmo neperiano).
Sabiendo que en el planeta Mercurio un objeto pesa 4 veces menos que en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Mercurio un automóvil de 1.5 toneladas?
Solución
Peso en Mercurio = (1/4) Peso en la Tierra = (1/4) x 1.5 toneladas = 0.375 ton.
Para una fiesta unos amigos deciden preparar de jugo a partir de concentrado de frutas. Las instrucciones del empaque dicen que de un vaso de concentrado se hacen 15 vasos de jugo. ¿Qué cantidad de concentrado se necesita para hacer 110 vasos de jugo?
Solución
Sea y la cantidad de vasos de jugo y x la cantidad de vasos de concentrado. Están relacionados mediante:
y = kx
Al sustituir los valores y = 15 y x = 1, la constante k se despeja:
k = y/x = 15/1 =15
Por lo tanto:
110 = 15 x
x = 110 /15 = 7.33 vasos de concentrado de frutas.
- Baldor, A. 1974. Algebra. Cultural Venezolana S.A.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Varsity Tutors. Relaciones de proporcionalidad. Recuperado de: varsitytutors.com
- Wikipedia. Proporcionalidad. Recuperado de: es.wikipedia.org.
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