Constante de proporcionalidad: qué es, cálculo, ejercicios
La constante de proporcionalidad es un elemento numérico relacional, usado para definir el patrón de semejanza entre 2 magnitudes que se ven alteradas de manera simultánea. Es muy común representarla como una función lineal de forma genérica mediante la expresión F ( X ) = k.X. Sin embargo, esta no es la única representación de una proporcionalidad posible.
Por ejemplo, la relación entre X e Y en la función Y = 3x tiene una constante de proporcionalidad igual a 3. En ella se observa que al crecer la variable independiente X, también lo hace la variable dependiente Y, en el triple de su valor anterior.
Las alteraciones aplicadas en una variable, tienen repercusiones inmediatas en la otra, de manera que existe un valor conocido como constante de proporcionalidad. Este sirve para relacionar las distintas magnitudes que ambas variables adquieren.
Índice del artículo
- 1 En qué consiste la constante de proporcionalidad y tipos
- 2 ¿Cómo se calcula?
- 3 Historia
- 4 Ejercicios resueltos
- 5 Referencias
Según la tendencia en el cambio de las variables, se pueden clasificar las proporcionalidades en 2 tipos.
Sugiere una relación unidireccional entre dos magnitudes. En ella, si la variable independiente presenta algún crecimiento, la variable dependiente también crecerá. De igual manera, todo decrecimiento en la variable independiente ocasionará una merma en la magnitud de Y.
Por ejemplo, la función lineal utilizada en la introducción; Y = 3X, corresponde con una relación directa de proporcionalidad. Esto se debe a que el aumento de la variable independiente X, provocará un aumento del triple en el valor anterior tomado por la variable dependiente Y.
De igual manera, la variable dependiente disminuirá el triple de su valor cuando X descienda en magnitud.
El valor de la constante de proporcionalidad “K” en una relación directa se define como K = Y/X.
En este tipo de funciones, la relación entre las variables se presenta de manera antónima, donde el crecimiento o decrecimiento de la variable independiente corresponde respectivamente al decrecimiento o crecimiento de la variable dependiente.
Por ejemplo, la función F (x) = k/x es una relación inversa o indirecta. Desde que el valor de la variable independiente comience a aumentar, el valor de k será dividido entre una cifra cada vez mayor, haciendo que la variable dependiente disminuya de valor según la proporción.
Según el valor tomado por K se podrá definir la tendencia de la función proporcional inversa. Si k>0, entonces la función será decreciente en todos los números reales. Y su gráfica se situará en el 1er y 3er cuadrante.
Por el contrario, si el valor de K es negativo o menor que cero, la función será creciente y su gráfica se encontrará en el 2º y 4º cuadrante.
Existen diferentes contextos donde se puede requerir la definición de la constante de proporcionalidad. En los distintos casos se mostrarán distintos datos sobre el problema, donde el estudio de estos arrojará finalmente el valor de K.
De manera genérica se puede recapitular lo antes mencionado. Los valores de K corresponden a dos expresiones según sea el tipo de proporcionalidad presente:
– Directa: K = Y/X
– Inversa o indirecta: K = Y.X
En ocasiones solo se conocerá parcial o completamente la gráfica de una función. En estos casos será necesario, mediante análisis gráfico, determinar el tipo de proporcionalidad. Luego habrá que definir una coordenada que permita verificar los valores de X e Y para aplicar a la fórmula de K correspondiente.
Las gráficas referentes a proporcionalidades directas son de tipo lineal. Por otra parte, las gráficas de funciones proporcionales inversas, suelen tomar forma de hipérbolas.
En algunos casos se tiene una tabla de valores con los valores correspondientes a cada iteración de la variable independiente. Normalmente esto implica la realización de la gráfica además de definir el valor de K.
Muestra la expresión que define la función analíticamente. De manera directa se puede despejar el valor de K, o también se puede inferir de la expresión misma.
En otros modelos de ejercicio se presentan ciertos datos, que se refieren a la relación entre los valores. Esto hace necesario la aplicación de regla de tres directa o compuesta para definir otros datos necesarios en el ejercicio.
El concepto de la proporcionalidad siempre ha estado presente. No solo en la mente y obra de los grandes matemáticos, sino en la vida cotidiana de la población, debido a su practicidad y aplicabilidad.
Es muy frecuente encontrarse con situaciones que requieren un enfoque de proporcionalidad. Estas se presentan en cada caso donde se necesite comparar variables y fenómenos que guardan ciertas relaciones.
Mediante una línea de tiempo podemos caracterizar los momentos históricos, en los cuales se han aplicado avances matemáticos referentes a proporcionalidad.
– Siglo II a.c. Se adopta el sistema de almacenamiento de fracciones y proporciones en Grecia.
– Siglo V a.c. Se descubre también en Grecia la proporción que relaciona el lado y la diagonal de un cuadrado.
– 600 a.c. Tales de Mileto presenta su teorema referente a la proporcionalidad.
– Año 900. Se amplía el sistema de decimales usado previamente por India en razones y proporciones. Aporte realizado por los árabes.
– Siglo XVII. Llegan aportes referentes a las proporciones en el cálculo de Euler.
– Siglo XIX. Gauss aporta el concepto de número complejo y proporción.
– Siglo XX. La proporcionalidad como modelo de función es definida por Azcarate y Deulofeo.
Se requiere calcular el valor de las variables x, y, z y g. Conociendo las siguientes relaciones proporcionales:
3x + 2y – 6z + 8g = 1925
x/3 = y/8 = z/3 = g/5
Se procede a definir los valores relativos de la constante de proporcionalidad. Estos los podemos obtener de la segunda relación, donde el valor que divide a cada variable indica una relación o razón referente a K.
X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k
Se sustituyen los valores en la primera expresión, donde el nuevo sistema quedará evaluado en una única variable k.
3(3k) + 2(2k) – 6(3k) + 8(5k) =1925
9k + 4k -18k + 40k = 1925
35k = 1925
K = 1925/35 = 55
Usando este valor de la constante de proporcionalidad podemos encontrar la cifra que define a cada una de las variables.
x = 3(55) = 165 y = 2(55) = 110
z = 3(55) = 165 g = 5(55) = 275
Calcular la constante de proporcionalidad y la expresión que define a la función, dada su gráfica.
En primer lugar se analiza la gráfica, siendo evidente su carácter lineal. Esto indica que se trata de una función con proporcionalidad directa y que el valor de K se obtendrá mediante la expresión k= y/x
Luego se escoge un punto determinable de la gráfica, es decir, uno en que se puedan apreciar de manera exacta las coordenadas que lo componen.
Para este caso se toma el punto (2 , 4). De donde podemos establecer la siguiente relación.
K = 4/2 = 2
De manera que la expresión queda definida por la función y=kx, que para este caso será
F(x) = 2x
- Math for Electricity & Electronics. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 jul. 2012
- Vision 2020: The Strategic Role of Operational Research. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 sept. 2005
- Conocimientos Gramaticales Y Aritméticos de Auxiliar Administrativo Del Estado.e-book. MAD-Eduforma
- Refuerzo de Matemáticas para apoyo y diversificación curricular: para apoyo y diversificación curricular. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 ago. 2003
- Gestión logística y comercial. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, S.A., 1 sept. 2013